Encontre os pontos de máximos e mínimos, se existirem, nas funções a seguir:
y = x^3 - 9x

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para encontrar os pontos de máximos e mínimos da função . Para isso, vamos utilizar conceitos de cálculo diferencial, especificamente derivadas, que nos ajudam a determinar onde a função atinge seus valores máximos e mínimos.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada da função . A derivada nos dá a taxa de variação da função em relação a .

Passo 3

Em seguida, para encontrar os pontos críticos (onde podem ocorrer máximos ou mínimos), igualamos a derivada a zero e resolvemos para :

Passo 4

Resolvendo a equação:

Passo 5

Agora, para determinar se cada ponto crítico é um máximo ou um mínimo, analisamos a segunda derivada da função .
Primeiro, encontramos a segunda derivada:

Passo 6

Avaliar a segunda derivada nos pontos críticos:
  • Para :
Como a segunda derivada é positiva, é um ponto de mínimo.
  • Para :
Como a segunda derivada é negativa, é um ponto de máximo.

Resposta

A função possui um ponto de máximo em e um ponto de mínimo em .

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