Encontre os pontos de máximos e mínimos, se existirem, nas funções a seguir:
Passo 1
Vamos resolver o exercício que pede para encontrar os pontos de máximos e mínimos da função
. Para isso, vamos utilizar conceitos de cálculo diferencial, especificamente derivadas, que nos ajudam a determinar onde a função atinge seus valores máximos e mínimos.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a derivada da função
. A derivada nos dá a taxa de variação da função em relação a
.
Passo 3
Em seguida, para encontrar os pontos críticos (onde podem ocorrer máximos ou mínimos), igualamos a derivada a zero e resolvemos para
:
Passo 4
Resolvendo a equação:
Passo 5
Agora, para determinar se cada ponto crítico é um máximo ou um mínimo, analisamos a segunda derivada da função
.
Primeiro, encontramos a segunda derivada:
Passo 6
Avaliar a segunda derivada nos pontos críticos:
- Para
:
Como a segunda derivada é positiva,
é um ponto de mínimo.
- Para
:
Como a segunda derivada é negativa,
é um ponto de máximo.
Resposta
A função
possui um ponto de máximo em
e um ponto de mínimo em
.