Encontre os pontos de máximos e mínimos, se existirem, nas funções a seguir:
y = x^2 - 8 x + 12

Passo 1

Então, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar os pontos de máximos e mínimos da função . Para isso, vamos usar conceitos de cálculo, especificamente de derivadas, para identificar esses pontos. Vamos precisar calcular a derivada da função e analisar onde ela é igual a zero.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que os pontos de máximos e mínimos de uma função ocorrem onde a derivada da função é igual a zero. Então, vamos começar calculando a derivada de em relação a .

Passo 3

A derivada da função em relação a é:

Passo 4

Agora, vamos encontrar os valores de onde a derivada é igual a zero:

Passo 5

Resolvendo a equação:
Então, temos um ponto crítico em .

Passo 6

Para determinar se esse ponto é um máximo ou um mínimo, vamos analisar a concavidade da função, ou seja, a segunda derivada.
A segunda derivada de é:
Como a segunda derivada é positiva ( ), isso significa que a função é côncava para cima nesse ponto, indicando que temos um ponto de mínimo.

Passo 7

Agora, vamos encontrar a coordenada desse ponto substituindo na função original:

Resposta

A função possui um ponto de mínimo em .

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