Encontre os pontos de máximos e mínimos, se existirem, nas funções a seguir:
Passo 1
Então, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar os pontos de máximos e mínimos da função
. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo, especificamente de derivadas, para identificar esses pontos. Vamos precisar calcular a derivada da função e analisar onde ela é igual a zero.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que os pontos de máximos e mínimos de uma função ocorrem onde a derivada da função é igual a zero. Então, vamos começar calculando a derivada de
em relação a
.
Passo 3
A derivada da função
em relação a
é:
Passo 4
Agora, vamos encontrar os valores de
onde a derivada é igual a zero:
Passo 5
Resolvendo a equação:
Então, temos um ponto crítico em
.
Passo 6
Para determinar se esse ponto é um máximo ou um mínimo, vamos analisar a concavidade da função, ou seja, a segunda derivada.
A segunda derivada de
é:
Como a segunda derivada é positiva (
), isso significa que a função é côncava para cima nesse ponto, indicando que temos um ponto de mínimo.
Passo 7
Agora, vamos encontrar a coordenada
desse ponto substituindo
na função original:
Resposta
A função
possui um ponto de mínimo em
.