Encontre a decomposição das seguintes matrizes:
b)
Passo 1
Beleza, o exercício pede pra gente decompor a matriz
A = 5 & 2 & 1 3 & 1 & 4 1 & 1 & 3
no produto , onde é uma matriz triangular inferior com 1’s na diagonal e é triangular superior. Isso é papo de Álgebra Linear, mais especificamente de fatoração LU (ou decomposição de Doolittle). Para fazer isso a gente vai precisar usar operações de eliminação de Gauss “manualmente” e organizar os coeficientes que usamos na matriz , enquanto o resto forma .
Passo 2
Primeiro, vamos escrever as matrizes L = 1 & 0 & 0 ell21 & 1 & 0 ell31 & ell32 & 1 , U = u11 & u12 & u13 0 & u22 & u23 0 & 0 & u33 e no formato padrão de Doolittle:
A ideia é fazer eliminação de Gauss em para zerar abaixo do pivô na primeira coluna, depois na segunda, e assim por diante. Os multiplicadores usados viram os em e o que sobra vira os em .
Passo 3
Primeiro pivô ell21 = a21u11 = 35, ell31 = a31u11 = 15 . É simplesmente . Então .
Multiplicadores na coluna 1:
Zerámos abaixo do pivô subtraindo essas combinações da linha:
Linha 2 nova = Linha 2 original – ,Linha 1
Linha 3 nova = Linha 3 original – ,Linha 1
Isso nos dá as “novas” linhas 2 e 3, que começam com zero.
Passo 4
Agora a “submatriz de baixo” é
0 & -tfrac15 & tfrac175 0 & tfrac35 & tfrac145
Segundo pivô ell32 = (posição (3,2) nova)u22 = tfrac35-tfrac15 = -3 é o elemento .
Multiplicador para zerar abaixo dele:çã
Subtrai vezes a linha 2 nova da linha 3 nova.
O que sobra na linha 3 é . Logo .
Também confirmamos .