Encontre a decomposição A=L U das seguintes matrizes:
b) A=(lll5 & 2 & 1 3 & 1 & 4 1 & 1 & 3)

Passo 1

Beleza, o exercício pede pra gente decompor a matriz
A = 5 & 2 & 1 3 & 1 & 4 1 & 1 & 3
no produto , onde é uma matriz triangular inferior com 1’s na diagonal e é triangular superior. Isso é papo de Álgebra Linear, mais especificamente de fatoração LU (ou decomposição de Doolittle). Para fazer isso a gente vai precisar usar operações de eliminação de Gauss “manualmente” e organizar os coeficientes que usamos na matriz , enquanto o resto forma .

Passo 2

Primeiro, vamos escrever as matrizes L = 1 & 0 & 0 ell21 & 1 & 0 ell31 & ell32 & 1 , U = u11 & u12 & u13 0 & u22 & u23 0 & 0 & u33 e no formato padrão de Doolittle:
A ideia é fazer eliminação de Gauss em para zerar abaixo do pivô na primeira coluna, depois na segunda, e assim por diante. Os multiplicadores usados viram os em e o que sobra vira os em .

Passo 3

  1. Primeiro pivô ell21 = a21u11 = 35, ell31 = a31u11 = 15 . É simplesmente . Então
    .
  2. Multiplicadores na coluna 1:
  3. Zerámos abaixo do pivô subtraindo essas combinações da linha:
    • Linha 2 nova = Linha 2 original – ,Linha 1
    • Linha 3 nova = Linha 3 original – ,Linha 1
      Isso nos dá as “novas” linhas 2 e 3, que começam com zero.

Passo 4

Agora a “submatriz de baixo” é
0 & -tfrac15 & tfrac175 0 & tfrac35 & tfrac145
  1. Segundo pivô ell32 = (posição (3,2) nova)u22 = tfrac35-tfrac15 = -3 é o elemento .
  2. Multiplicador para zerar abaixo dele: çã
  3. Subtrai vezes a linha 2 nova da linha 3 nova.
    O que sobra na linha 3 é . Logo .
    Também confirmamos .

Passo 5

Juntando tudo:
L = 1 & 0 & 0 35 & 1 & 0 15 & -3 & 1 , U = 5 & 2 & 1[6pt] 0 & -tfrac15 & tfrac175[6pt] 0 & 0 & 13

Resposta

A = L,U, L = 1 & 0 & 0 35 & 1 & 0 15 & -3 & 1 , U = 5 & 2 & 1 0 & -tfrac15 & tfrac175 0 & 0 & 13

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