Sobre interpolação, é verdadeiro afirmar que:
x A É mais rápido interpolar com o polinômio de Newton do que com o polinômio de Lagrange.
B Quando aplicável, o polinômio de Gregory-Newton permite alcançar um menor erro de truncamento que o cometido empregando o polinômio de Newton.
Quanto maior o grau do polinômio interpolador, menor o erro de truncamento.
D Ao avaliar o polinômio interpolador em
, o erro de truncamento cometido independe das distâncias entre
e as abscissas dos pontos base.
x E Uma vantagem do polinômio de Lagrange em relação ao de Newton é que basta acrescentar um novo termo para aumentar o grau da interpolação.
x A É mais rápido interpolar com o polinômio de Newton do que com o polinômio de Lagrange.
B Quando aplicável, o polinômio de Gregory-Newton permite alcançar um menor erro de truncamento que o cometido empregando o polinômio de Newton.
x E Uma vantagem do polinômio de Lagrange em relação ao de Newton é que basta acrescentar um novo termo para aumentar o grau da interpolação.
Passo 1
Beleza, o enunciado está perguntando quais dessas afirmativas sobre interpolação são verdadeiras. O assunto aqui é “polinômio interpolador” (Newton, Lagrange, Gregory‐Newton) e “erro de truncamento” (ou erro de interpolação). Para resolver, vamos precisar:
- Entender como cada forma de polinômio funciona na prática (complexidade, facilidade de adicionar pontos).
- Relembrar a fórmula geral do erro de interpolação
onde
está entre os nós
.
Passo 2
A) “É mais rápido interpolar com o polinômio de Newton do que com o de Lagrange.”
Explicando:
Explicando:
- Na forma de Lagrange, para calcular o valor em cada
a partir dos coeficientes, a gente precisa calcular cada base que envolve multiplicações, e somar tudo. Isso dá algo como . - Na forma de Newton, usando o esquema de Horner, a avaliação leva só
multiplicações/somas.
Logo, sim: em geral Newton é mais rápido de avaliar (e ainda permite adicionar um ponto sem refazer tudo).
→ A é verdadeira.
Passo 3
B) “Quando aplicável, o polinômio de Gregory‐Newton permite alcançar um menor erro de truncamento que o cometido empregando o polinômio de Newton.”
O polinômio de Gregory‐Newton é só a forma de Newton para nós equiespaçados, mas o grau e o erro teórico são os mesmos. A fórmula de erro não muda.
→ B é falsa.
O polinômio de Gregory‐Newton é só a forma de Newton para nós equiespaçados, mas o grau e o erro teórico são os mesmos. A fórmula de erro não muda.
→ B é falsa.
Passo 4
C) “Quanto maior o grau do polinômio interpolador, menor o erro de truncamento.”
A gente olha na expressão do erro:
A gente olha na expressão do erro:
Nem sempre aumentar
diminui o erro, porque:
-
pode crescer rápido, - o produto
pode explodir (fenômeno de Runge).
Então não dá para afirmar isso em geral.
→ C é falsa.
Passo 5
D) “Ao avaliar o polinômio interpolador em
, o erro de truncamento independe das distâncias entre
e as abscissas dos pontos base.”
Mas veja que o erro envolve exatamente o produto . Ou seja, depende sim das distâncias.
→ D é falsa.
Mas veja que o erro envolve exatamente o produto
→ D é falsa.
Passo 6
E) “Uma vantagem do polinômio de Lagrange em relação ao de Newton é que basta acrescentar um novo termo para aumentar o grau da interpolação.”
É justamente o contrário: no Newton você só adiciona um novo termo (divided difference) para subir de grau; em Lagrange, ao incluir um ponto, precisa recalcular todas as bases .
→ E é falsa.
É justamente o contrário: no Newton você só adiciona um novo termo (divided difference) para subir de grau; em Lagrange, ao incluir um ponto, precisa recalcular todas as bases
→ E é falsa.
Resposta
A é a única afirmativa verdadeira.