Sobre interpolação, é verdadeiro afirmar que:
x A É mais rápido interpolar com o polinômio de Newton do que com o polinômio de Lagrange.
B Quando aplicável, o polinômio de Gregory-Newton permite alcançar um menor erro de truncamento que o cometido empregando o polinômio de Newton.
checkmark Quanto maior o grau do polinômio interpolador, menor o erro de truncamento.
times D Ao avaliar o polinômio interpolador em z, o erro de truncamento cometido independe das distâncias entre z e as abscissas dos pontos base.
x E Uma vantagem do polinômio de Lagrange em relação ao de Newton é que basta acrescentar um novo termo para aumentar o grau da interpolação.

Passo 1

Beleza, o enunciado está perguntando quais dessas afirmativas sobre interpolação são verdadeiras. O assunto aqui é “polinômio interpolador” (Newton, Lagrange, Gregory‐Newton) e “erro de truncamento” (ou erro de interpolação). Para resolver, vamos precisar:
  1. Entender como cada forma de polinômio funciona na prática (complexidade, facilidade de adicionar pontos).
  2. Relembrar a fórmula geral do erro de interpolação
Rn(z) = f^(n+1)(xi)(n+1)!,(z - x0)(z - x1)cdots(z - xn),,
onde está entre os nós .

Passo 2

A) “É mais rápido interpolar com o polinômio de Newton do que com o de Lagrange.”
Explicando:
  • Na forma de Lagrange, para calcular o valor em cada a partir dos coeficientes, a gente precisa calcular cada base que envolve multiplicações, e somar tudo. Isso dá algo como .
  • Na forma de Newton, usando o esquema de Horner, a avaliação leva só multiplicações/somas.
    Logo, sim: em geral Newton é mais rápido de avaliar (e ainda permite adicionar um ponto sem refazer tudo).
    → A é verdadeira.

Passo 3

B) “Quando aplicável, o polinômio de Gregory‐Newton permite alcançar um menor erro de truncamento que o cometido empregando o polinômio de Newton.”
O polinômio de Gregory‐Newton é só a forma de Newton para nós equiespaçados, mas o grau e o erro teórico são os mesmos. A fórmula de erro não muda.
→ B é falsa.

Passo 4

C) “Quanto maior o grau do polinômio interpolador, menor o erro de truncamento.”
A gente olha na expressão do erro:
Rn(z)=f^(n+1)(xi)(n+1)!(z-x0)cdots(z-xn)
Nem sempre aumentar diminui o erro, porque:
  • pode crescer rápido,
  • o produto pode explodir (fenômeno de Runge).
    Então não dá para afirmar isso em geral.
    → C é falsa.

Passo 5

D) “Ao avaliar o polinômio interpolador em , o erro de truncamento independe das distâncias entre e as abscissas dos pontos base.”
Mas veja que o erro envolve exatamente o produto . Ou seja, depende sim das distâncias.
→ D é falsa.

Passo 6

E) “Uma vantagem do polinômio de Lagrange em relação ao de Newton é que basta acrescentar um novo termo para aumentar o grau da interpolação.”
É justamente o contrário: no Newton você só adiciona um novo termo (divided difference) para subir de grau; em Lagrange, ao incluir um ponto, precisa recalcular todas as bases .
→ E é falsa.

Resposta

A é a única afirmativa verdadeira.

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