Encontre a decomposição
da matriz
, em cada item abaixo, e a solução do sistema
, resolvendo os sistemas triangulares
e
.
e
B=(c6 14 16 6) .
Passo 1
Beleza, o que a gente tem aqui? O enunciado pede pra decompor a matriz
A = \begin{pmatrix}
1 & 2 & -5 & 4 \\
2 & 5 & 12 & 7 \\
3 & 5 & 17 & 8 \\
1 & 1 & 27 & 4
\end{pmatrix}
em duas matrizes triangulares
e
(isso é a tal decomposição LU) e depois resolver o sistema
, onde
B = \begin{pmatrix}6\\14\\16\\6\end{pmatrix}.
O conteúdo aqui é:
- método de Doolittle (fatoração LU sem trocar linhas),
- cálculo de multiplicadores para eliminação de Gauss,
- substituição direta (pra achar
em ) e reversa (pra achar em ).
Passo 2
Primeiro, a gente monta
U A e
L igual à identidade e começa a zerar os elementos abaixo de
a11 :
-
m21 = a21a11 = 21 = 2
– anota em e fazL21=2
.;R2 R2 - 2,R1 -
, anotam31 = 31=3 e fazL31=3
.;R3 R3 - 3,R1 -
, anotam41 = 11=1 e fazL41=1
.;R4 R4 - 1,R1
Depois dessas contas o
U provisório vira
Passo 3
Agora a gente zera o
(3,2) e
(4,2) usando o pivô
U22=1 :
-
, anotam32 = dfracU32U22 = dfrac-11 = -1 e fazL32=-1
.;R3 R3 -(-1),R2 = R3 + R2 -
, anotam42 = dfracU42U22 = dfrac-11 = -1 e fazL42=-1
.;R4 R4 + R2
Fica então
Passo 4
Por fim, pra zerar
U43 usamos o pivô
U33=54 :
Aí o
U fica totalmente triangular superior:
Passo 5
Resolvo
L,Y = B (substituição direta):
-
.y1 = 6 -
2,y1 + y2 = 14 ;Rightarrow; y2 = 14 - 2cdot6 = 2 -
3,y1 - y2 + y3 = 16 ;Rightarrow; 18 - 2 + y3 =16;Rightarrow;y3=0 -
y1 - y2 + y3 + y4 =6 ;Rightarrow;6 -2 +0 + y4 =6;Rightarrow;y4=2
Logo
Passo 6
Agora
U,X = Y (substituição reversa):
-
4,x4 = 2 ;Rightarrow; x4 = tfrac12 -
54,x3 -5,x4 = 0 ;Rightarrow; 54,x3 = 5cdottfrac12 = 2.5 ;Rightarrow; x3 = tfrac5108 -
x2 +22,x3 - x4 = 2 ;Rightarrow; x2 = 2 -22cdottfrac5108 + tfrac12 = tfrac4027 -
x1 +2,x2 -5,x3 +4,x4 =6 ;Rightarrow; x1 = 6 - l(2cdottfrac4027 -5cdottfrac5108 +2r) = tfrac137108
Resposta
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