Encontre a decomposição L U da matriz A, em cada item abaixo, e a solução do sistema A X=B, resolvendo os sistemas triangulares L Y=B e U X=Y.
A=(llll1 & 2 & -5 & 4 2 & 5 & 12 & 7 3 & 5 & 17 & 8 1 & 1 & 27 & 4) e B=(c6 14 16 6).

Passo 1

Beleza, o que a gente tem aqui? O enunciado pede pra decompor a matriz
A = \begin{pmatrix}  
1 & 2 & -5 & 4 \\  
2 & 5 & 12 & 7 \\  
3 & 5 & 17 & 8 \\  
1 & 1 & 27 & 4  
\end{pmatrix}  
em duas matrizes triangulares e (isso é a tal decomposição LU) e depois resolver o sistema
, onde
B = \begin{pmatrix}6\\14\\16\\6\end{pmatrix}.  
O conteúdo aqui é:
  • método de Doolittle (fatoração LU sem trocar linhas),
  • cálculo de multiplicadores para eliminação de Gauss,
  • substituição direta (pra achar em ) e reversa (pra achar em ).

Passo 2

Primeiro, a gente monta U A e L igual à identidade e começa a zerar os elementos abaixo de a11:
  1. m21 = a21a11 = 21 = 2
    – anota em L21=2 e faz
    ;R2 R2 - 2,R1.
  2. m31 = 31=3, anota L31=3 e faz
    ;R3 R3 - 3,R1.
  3. m41 = 11=1, anota L41=1 e faz
    ;R4 R4 - 1,R1.
Depois dessas contas o U provisório vira
U = 1 & 2 & -5 & 4 0 & 1 & 22 & -1 0 & -1 & 32 & -4 0 & -1 & 32 & 0

Passo 3

Agora a gente zera o (3,2) e (4,2) usando o pivô U22=1:
  1. m32 = dfracU32U22 = dfrac-11 = -1, anota L32=-1 e faz
    ;R3 R3 -(-1),R2 = R3 + R2.
  2. m42 = dfracU42U22 = dfrac-11 = -1, anota L42=-1 e faz
    ;R4 R4 + R2.
Fica então
U = 1 & 2 & -5 & 4 0 & 1 & 22 & -1 0 & 0 & 54 & -5 0 & 0 & 54 & -1

Passo 4

Por fim, pra zerar U43 usamos o pivô U33=54:
m43 = U43U33 = 5454 = 1, L43=1, R4 R4 - 1,R3
Aí o U fica totalmente triangular superior:
U = 1 & 2 & -5 & 4 0 & 1 & 22 & -1 0 & 0 & 54 & -5 0 & 0 & 0 & 4 e L = 1 & 0 & 0 & 0 2 & 1 & 0 & 0 3 & -1 & 1 & 0 1 & -1 & 1 & 1

Passo 5

Resolvo L,Y = B (substituição direta):
  1. y1 = 6.
  2. 2,y1 + y2 = 14 ;Rightarrow; y2 = 14 - 2cdot6 = 2
  3. 3,y1 - y2 + y3 = 16 ;Rightarrow; 18 - 2 + y3 =16;Rightarrow;y3=0
  4. y1 - y2 + y3 + y4 =6 ;Rightarrow;6 -2 +0 + y4 =6;Rightarrow;y4=2
    Logo
Y = 6202

Passo 6

Agora U,X = Y (substituição reversa):
  1. 4,x4 = 2 ;Rightarrow; x4 = tfrac12
  2. 54,x3 -5,x4 = 0 ;Rightarrow; 54,x3 = 5cdottfrac12 = 2.5 ;Rightarrow; x3 = tfrac5108
  3. x2 +22,x3 - x4 = 2 ;Rightarrow; x2 = 2 -22cdottfrac5108 + tfrac12 = tfrac4027
  4. x1 +2,x2 -5,x3 +4,x4 =6 ;Rightarrow; x1 = 6 - l(2cdottfrac4027 -5cdottfrac5108 +2r) = tfrac137108

Resposta

L = 1 & 0 & 0 & 0 2 & 1 & 0 & 0 3 & -1 & 1 & 0 1 & -1 & 1 & 1 , U = 1 & 2 & -5 & 4 0 & 1 & 22 & -1 0 & 0 & 54 & -5 0 & 0 & 0 & 4 , X = 137108[6pt] 4027[3pt] 5108[3pt] 12
]

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