Encontre, utilizando o método de eliminação de Gauss com pivotamento parcial, a solução geral do sistema A X=B, circulando os pivôs na matriz escalonada e indicando as variáveis básicas e livres em cada caso:
A=(lll1 & -2 & 1 2 & -1 & 4 3 & -2 & 2) e B=(c7 17 14).

Passo 1

Beleza, o enunciado pede pra gente resolver o sistema linear
A,X = B, A=1&-2&12&-1&43&-2&2, B=71714,
usando eliminação de Gauss com pivotação parcial. Isso faz parte de Sistemas Lineares – vamos usar operações elementares de linha (trocar linhas, somar múltiplos de linhas) e pivotação parcial (escolher como pivô o maior valor em módulo na coluna) para chegar a uma matriz triangular. No final, “circulamos” cada pivô (aqui eu marco com boxedcdot) e identificamos variáveis básicas e livres.

Passo 2

Montamos a matriz aumentada [;Amid B;]:
l[Amid Br] = 1 & -2 & 1 &|,&7 2 & -1 & 4 &|,&17 3 & -2 & 2 &|,&14
Na pivotação parcial da coluna 1, o maior valor em módulo entre 1, 2 e 3 é 3 (linha 3). Então trocamos L1rightarrow L3:
3 & -2 & 2 &|;14 2 & -1 & 4 &|;17 1 & -2 & 1 &|;7
O pivô é boxed3 em (1,1). Agora zeramos abaixo usando
L2 L2 - tfrac23L1, L3 L3 - tfrac13L1
Calculando cada entrada, fica
boxed3 & -2 & 2 &|;14 0 & tfrac13 & tfrac83 &|;tfrac233 0 & -tfrac43 & tfrac13 &|;tfrac73

Passo 3

Agora escolhemos pivô na coluna 2 (só linhas 2 e 3): em módulo, tfrac13 vs. tfrac43, o maior é tfrac43 (linha 3). Trocamos L2rightarrow L3:
boxed3 & -2 & 2 &|;14 0 & -tfrac43 & tfrac13 &|;tfrac73 0 & tfrac13 & tfrac83 &|;tfrac233
O pivô é boxed-tfrac43 em (2,2). Para zerar abaixo:
L3 L3 - l(1/3-4/3r)L2 = L3 + tfrac14,L2
Fazendo as contas na linha 3 saem 0, 11/4 e 33/4, chegando a
boxed3 & -2 & 2 &|;14 0 & boxed-tfrac43 & tfrac13 &|;tfrac73 0 & 0 & tfrac114 &|;tfrac334

Passo 4

Já temos forma triangular. O pivô em (3,3) é boxedtfrac114, então
114,z = 334 ;Longrightarrow; z = 3
Retro-substituindo:
Na linha 2:
-43,y + 13cdot3 = 73 ;Longrightarrow; -43,y = 43 ;Longrightarrow; y = -1
Na linha 1:
3x - 2(-1) + 2cdot3 = 14 ;Longrightarrow; 3x + 8 = 14 ;Longrightarrow; x = 2

Resposta

A solução única é
(x,y,z) = (2,,-1,,3)
Variáveis básicas: x,y,z (todas têm pivô).
Variáveis livres: nenhuma.

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