Encontre a decomposição A=L D L^t, onde L é triangular inferior com li i=1 e D é uma matriz diagonal, da matriz
A=[lll 8.00 & 4.00 & 2.00 4.00 & 6.00 & 1.00 2.00 & 1.00 & 1.00 ]
é simétrica e definida positiva. Em seguida, encontre a sua inversa usando o procedimento do exercício anterior.

Passo 1

Resumo do enunciado: a gente tem uma matriz simétrica e definida‐positiva
A = 8 & 4 & 2 4 & 6 & 1 2 & 1 & 1
e precisa encontrar a decomposição , onde é triangular inferior com 1 na diagonal e é diagonal. Depois, usar essa decomposição pra calcular .
Conteúdo envolvido: fatoração LDL para matrizes simétricas definidas positivas e inversão usando fatores triangulares.
O que vamos precisar:
• Saber como extrair os pivôs e os multiplicadores .
• Saber que .

Passo 2

Vamos montar d1 = a11 = 8, l21 = a21d1 = 48 = tfrac12, l31 = a31d1 = 28 = tfrac14 e d2 = a22 - l21^2,d1 = 6 - l(tfrac12r)^2cdot 8 = 6 - 2 = 4 passo a passo:
  1. Primeiro pivô
l32 = a32 - l31,l21,d1d2 = 1 - l(tfrac14cdottfrac12cdot8r)4 = 1-14 = 0
  1. Segundo pivô
d3 = a33 - l31^2,d1 - l32^2,d2 = 1 - l(tfrac14r)^2cdot8 - 0 = 1 - tfrac12 = tfrac12
E
L = 1 & 0 & 0 tfrac12 & 1 & 0 tfrac14 & 0 & 1 , D = diagl(8,;4,;tfrac12r)
  1. Terceiro pivô
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Passo 3

Agora D^-1 = diagl(tfrac18,,tfrac14,,2r) .
  1. Inverso de L^-1 = 1 & 0 & 0 -tfrac12 & 1 & 0 -tfrac14 & 0 & 1 , L^-T = l(L^-1r)^T = 1 & -tfrac12 & -tfrac14 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1 :
A^-1 = L^-T,D^-1,L^-1 = tfrac516 & -tfrac18 & -tfrac12 -tfrac18 & tfrac14 & 0 -tfrac12 & 0 & 2
  1. Inverso de (é triangular com 1 na diag.):
  1. Fazendo a multiplicação

Resposta

1 & 0 & 0 tfrac12 & 1 & 0 tfrac14 & 0 & 1
\quad
A^-1 = tfrac516 & -tfrac18 & -tfrac12 -tfrac18 & tfrac14 & 0 -tfrac12 & 0 & 2

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