Seja a função f(x)=e^x-2+x^5-4. Determine o valor de x em que a função f(x)=2, usando o método de Newton com varepsilon=0.001.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem a função $ f(x) = e^{x-2} + x^{5} - 4 $ e precisa encontrar o valor de $ x $ que faz $ f(x) = 2 $. Ou seja, queremos resolver a equação $ e^{x-2} + x^{5} - 4 = 2 $. Para isso, vamos usar o Método de Newton, que é uma técnica poderosa para encontrar raízes de equações de forma iterativa. Precisamos também da derivada da função e escolher um chute inicial para começar as iterações. Nosso critério de parada será quando a diferença entre duas aproximações consecutivas for menor que $ \varepsilon = 0.001 $.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação para ficar igual a zero:
e^x-2 + x^5 - 4 - 2 = 0 implies e^x-2 + x^5 - 6 = 0
Então, nossa função para aplicar o Método de Newton será:
g(x) = e^x-2 + x^5 - 6
Agora, precisamos da derivada dessa função:
g'(x) = e^x-2 + 5x^4
O Método de Newton usa a fórmula:
xn+1 = xn - g(xn)g'(xn)
Vamos escolher um chute inicial $ x_{0} $. Observando a função, vamos tentar $ x_{0} = 1 $.

Passo 3

Iteração 1:
Calculando $ g(1) $:
g(1)
Calculando $ g’(1) $:
g(1) = e^1-2 + 1^5 - 6 = e^-1 + 1 - 6 approx 0.3679 + 1 - 6 = -4.6321
Aplicando a fórmula de Newton:
g'(1)

Passo 4

Iteração 2:
Calculando $ g(1.862) $:
g(1.862)
Calculando $ g’(1.862) $:
g(1.862) = e^1.862-2 + (1.862)^5 - 6 approx e^-0.138 + 24.206 - 6 approx 0.871 + 24.206 - 6 = 19.077
Aplicando a fórmula de Newton:
g'(1.862)

Passo 5

Iteração 3:
Calculando $ g(1.550) $:
g(1.550)
Calculando $ g’(1.550) $:
g(1.550) = e^1.550-2 + (1.550)^5 - 6 approx e^-0.450 + 9.112 - 6 approx 0.637 + 9.112 - 6 = 3.749
Aplicando a fórmula de Newton:
g'(1.550)

Passo 6

Iteração 4:
Calculando $ g(1.422) $:
g(1.422)
Calculando $ g’(1.422) $:
g(1.422) = e^1.422-2 + (1.422)^5 - 6 approx e^-0.578 + 5.277 - 6 approx 0.561 + 5.277 - 6 = -0.162
Aplicando a fórmula de Newton:
g'(1.422)

Passo 7

Iteração 5:
Calculando $ g(1.430) $:
g(1.430)
Calculando $ g’(1.430) $:
g(1.430) = e^1.430-2 + (1.430)^5 - 6 approx e^-0.570 + 5.454 - 6 approx 0.565 + 5.454 - 6 = 0.019
Aplicando a fórmula de Newton:
g'(1.430)
A diferença entre $ x_{5} $ e $ x_{4} $ é $ |1.429 - 1.430| = 0.001 $, que é igual ao $ \varepsilon $. Portanto, paramos aqui.

Resposta

O valor de $ x $ que satisfaz $ f(x) = 2 $ é aproximadamente $ x \approx 1.429 $.

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