Seja a função
. Determine o valor de
em que a função
, usando o método de Newton com
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem a função $ f(x) = e^{x-2} + x^{5} - 4 $ e precisa encontrar o valor de $ x $ que faz $ f(x) = 2 $. Ou seja, queremos resolver a equação $ e^{x-2} + x^{5} - 4 = 2 $. Para isso, vamos usar o Método de Newton, que é uma técnica poderosa para encontrar raízes de equações de forma iterativa. Precisamos também da derivada da função e escolher um chute inicial para começar as iterações. Nosso critério de parada será quando a diferença entre duas aproximações consecutivas for menor que $ \varepsilon = 0.001 $.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação para ficar igual a zero:
Então, nossa função para aplicar o Método de Newton será:
Agora, precisamos da derivada dessa função:
O Método de Newton usa a fórmula:
Vamos escolher um chute inicial $ x_{0} $. Observando a função, vamos tentar $ x_{0} = 1 $.
Passo 3
Iteração 1:
Calculando $ g(1) $:
Calculando $ g’(1) $:
Aplicando a fórmula de Newton:
Passo 4
Iteração 2:
Calculando $ g(1.862) $:
Calculando $ g’(1.862) $:
Aplicando a fórmula de Newton:
Passo 5
Iteração 3:
Calculando $ g(1.550) $:
Calculando $ g’(1.550) $:
Aplicando a fórmula de Newton:
Passo 6
Iteração 4:
Calculando $ g(1.422) $:
Calculando $ g’(1.422) $:
Aplicando a fórmula de Newton:
Passo 7
Iteração 5:
Calculando $ g(1.430) $:
Calculando $ g’(1.430) $:
Aplicando a fórmula de Newton:
A diferença entre $ x_{5} $ e $ x_{4} $ é $ |1.429 - 1.430| = 0.001 $, que é igual ao $ \varepsilon $. Portanto, paramos aqui.
Resposta
O valor de $ x $ que satisfaz $ f(x) = 2 $ é aproximadamente $ x \approx 1.429 $.