Encontre a decomposição A=L U das seguintes matrizes:
A=\left[\begin{array}{cc}16 & 5 \\\\ 1 & 2\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado pede para encontrar uma decomposição A=L\,U da matriz dada. A matriz fornecida é
A=\begin{pmatrix}16 & 5\\[4pt] 1 & 2\end{pmatrix}.
O que se quer: duas matrizes quadradas L e U de ordem 2 tais que A=L\,U, onde L é triangular inferior e U é triangular superior (essa é a forma usual de decomposição pedida). As entradas conhecidas de A são:
a_{11}=16,\qquad a_{12}=5,\qquad a_{21}=1,\qquad a_{22}=2.]

Passo 2

Escolha do método e ideia básica (explicação didática rápida, sem pular etapas):
  • Vou usar a forma padrão chamada método de Doolittle, em que se pede L triangular inferior com todas as diagonais iguais a 1 (ou seja, l_{11}=l_{22}=1) e U triangular superior com entradas possivelmente diferentes de 1.
  • Por que essa escolha? Porque é simples para matrizes 2\times2 e evita dividir por elementos de L na diagonal (já fixos como 1), tornando o cálculo direto na prova.
  • Em notação, escrevemos:
L=\begin{pmatrix}1 & 0\\[4pt] \ell_{21} & 1\end{pmatrix},\qquad U=\begin{pmatrix}u_{11} & u_{12}\\[4pt] 0 & u_{22}\end{pmatrix},
onde \ell_{21},u_{11},u_{12},u_{22} são incógnitas a determinar.]

Passo 3

Escrever a igualdade A=L\,U e obter as equações para as incógnitas:
Multiplicando L por U temos
L\,U = \begin{pmatrix}1 & 0\\[4pt] \ell_{21} & 1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}u_{11} & u_{12}\\[4pt] 0 & u_{22}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1\cdot u_{11}+0\cdot 0 & 1\cdot u_{12}+0\cdot u_{22}\\[6pt] \ell_{21}\cdot u_{11}+1\cdot 0 & \ell_{21}\cdot u_{12}+1\cdot u_{22} \end{pmatrix}.
Comparando com A linha a linha e coluna a coluna, obtemos as equações
\begin{aligned} u_{11} &= a_{11}=16,\\[4pt] u_{12} &= a_{12}=5,\\[4pt] \ell_{21}\,u_{11} &= a_{21}=1,\\[4pt] \ell_{21}\,u_{12}+u_{22} &= a_{22}=2. \end{aligned}]

Passo 4

Resolver as equações passo a passo (contas explícitas, sem pular etapas):
  • Da primeira equação já vem
u_{11}=16.
  • Da segunda equação vem
u_{12}=5.
  • Da terceira equação temos \ell_{21}\,u_{11}=1. Como u_{11}=16, então
\ell_{21}=\frac{1}{u_{11}}=\frac{1}{16}.
  • Usando a quarta equação \ell_{21}\,u_{12}+u_{22}=2, substituímos \ell_{21}=\dfrac{1}{16} e u_{12}=5:
\frac{1}{16}\cdot 5 + u_{22}=2.
Calcular \dfrac{1}{16}\cdot 5=\dfrac{5}{16}. Então
u_{22}=2-\frac{5}{16}=\frac{32}{16}-\frac{5}{16}=\frac{27}{16}.

Passo 5

Construir L e U com as entradas encontradas e verificar (multiplicação rápida):
Assim obtemos
L=\begin{pmatrix}1 & 0\\[4pt]\dfrac{1}{16} & 1\end{pmatrix}, \qquad U=\begin{pmatrix}16 & 5\\[4pt]0 & \dfrac{27}{16}\end{pmatrix}.
Verificação rápida do elemento (2,2) do produto:
\left(LU\right)_{22}=\ell_{21}\,u_{12}+1\cdot u_{22}=\frac{1}{16}\cdot 5+\frac{27}{16}=\frac{5+27}{16}=\frac{32}{16}=2,
que coincide com a_{22}. Os demais elementos também já correspondem por construção ( u_{11}=16, u_{12}=5, \ell_{21}u_{11}=1), logo a decomposição está correta.]

Resposta

L=\begin{pmatrix}1 & 0\\[4pt]\dfrac{1}{16} & 1\end{pmatrix},\qquad U=\begin{pmatrix}16 & 5\\[4pt]0 & \dfrac{27}{16}\end{pmatrix}]

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