Questão 11. Qual é o dígito das unidades de \mathrm{S}=\lfloor\sqrt{1}\rfloor+\lfloor\sqrt{2}\rfloor+\lfloor\sqrt{3}\rfloor+\ldots+\lfloor\sqrt{2026}\rfloor ?
A ( ) 1
B( ) 2
C ( ) 3
D( ) 5
E ( ) NDA

Passo 1

O enunciado pede o dígito das unidades de
S=\sum_{k=1}^{2026}\lfloor\sqrt{k}\rfloor.
As alternativas são: (\text{A})\\\ 1,\\ (\text{B})\\\ 2,\\ (\text{C})\\\ 3,\\ (\text{D})\\\ 5,\\ (\text{E})\\ \text{NDA}.
Os dados relevantes do problema são apenas o somatório acima e o limite superior 2026.

Passo 2

Vamos entender o que significa cada termo \lfloor\sqrt{k}\rfloor. Por definição, \lfloor x\rfloor é a parte inteira de x, isto é, o maior inteiro menor ou igual a x.
Para a raiz quadrada, \lfloor\sqrt{k}\rfloor=m exatamente quando
m^2 \le k \le (m+1)^2-1.
Isso significa que o valor inteiro m aparece repetido para todos os k entre m^2 e (m+1)^2-1. O número de inteiros k nessa faixa é
(m+1)^2-m^2=2m+1,
ou seja, o valor m contribui 2m+1 vezes para a soma S.

Passo 3

Determine o maior valor inteiro que aparece como \lfloor\sqrt{k}\rfloor quando k\le2026. Seja M=\lfloor\sqrt{2026}\rfloor. Calculamos:
45^2=2025,\qquad 46^2=2116,
logo \lfloor\sqrt{2026}\rfloor=45, isto é, M=45.
Portanto, todos os inteiros m=1,2,\dots,44 aparecem com a repetição completa 2m+1, enquanto m=45 aparece apenas para os k de 45^2=2025 até 2026. O número de termos com valor 45 é
2026-45^2+1=2026-2025+1=2.
Assim podemos escrever
S=\sum_{m=1}^{44} m(2m+1) + 45\cdot 2.

Passo 4

Simplificamos a soma. Primeiro escrevemos o termo genérico:
m(2m+1)=2m^2+m.
Logo
\sum_{m=1}^{44} m(2m+1)=2\sum_{m=1}^{44}m^2+\sum_{m=1}^{44}m.
Usamos as fórmulas conhecidas:
\sum_{m=1}^{n}m=\frac{n(n+1)}{2},\qquad \sum_{m=1}^{n}m^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}.
Para n=44:
\sum_{m=1}^{44}m=\frac{44\cdot45}{2}=22\cdot45=990.
\sum_{m=1}^{44}m^2=\frac{44\cdot45\cdot89}{6}.
Calcule passo a passo:
\frac{44\cdot45\cdot89}{6}=\frac{22\cdot45\cdot89}{3}=\frac{990\cdot89}{3}=330\cdot89=29370.
Portanto
2\sum_{m=1}^{44}m^2=2\cdot29370=58740.
Somando,
2\sum_{m=1}^{44}m^2+\sum_{m=1}^{44}m=58740+990=59730.
Agora adicionamos a contribuição do bloco m=45, que foi 45\cdot 2=90. Assim
S=59730+90=59820.

Passo 5

O dígito das unidades de S é o dígito das unidades de 59820, que é 0. Nenhuma das alternativas A, B, C ou D dá 0, portanto a alternativa correta é a opção que indica “nenhuma das alternativas” (NDA).

Resposta

E

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