Questão 11. Qual é o dígito das unidades de
?
A ( ) 1
B( ) 2
C ( ) 3
D( ) 5
E ( ) NDA
A ( ) 1
B( ) 2
C ( ) 3
D( ) 5
Passo 1
O enunciado pede o dígito das unidades de
As alternativas são:
Os dados relevantes do problema são apenas o somatório acima e o limite superior .
Os dados relevantes do problema são apenas o somatório acima e o limite superior
Passo 2
Vamos entender o que significa cada termo
. Por definição,
é a parte inteira de
, isto é, o maior inteiro menor ou igual a
.
Para a raiz quadrada, exatamente quando
Para a raiz quadrada,
Isso significa que o valor inteiro
aparece repetido para todos os
entre
e
. O número de inteiros
nessa faixa é
ou seja, o valor
contribui
vezes para a soma
.
Passo 3
Determine o maior valor inteiro que aparece como
quando
. Seja
. Calculamos:
logo
, isto é,
.
Portanto, todos os inteiros
aparecem com a repetição completa
, enquanto
aparece apenas para os
de
até
. O número de termos com valor
é
Assim podemos escrever
Passo 4
Simplificamos a soma. Primeiro escrevemos o termo genérico:
Logo
Usamos as fórmulas conhecidas:
Para
:
Calcule passo a passo:
Portanto
Somando,
Agora adicionamos a contribuição do bloco
, que foi
. Assim
Passo 5
O dígito das unidades de
é o dígito das unidades de
, que é
. Nenhuma das alternativas A, B, C ou D dá
, portanto a alternativa correta é a opção que indica “nenhuma das alternativas” (NDA).
Resposta
E