Exercício 1.22. Expandir as seguintes funções em série de potências ao redor do ponto a dado:
f(x)=\frac{1}{x^{2}} ao redor de a=-1.

Passo 1

O enunciado pede para expandir em série de potências, ao redor de a=-1, a função
f(x)=\frac{1}{x^{2}}.
Informações dadas:
  • A função é f(x)=\dfrac{1}{x^{2}}.
  • O ponto de expansão (centro da série) é a=-1.
    O que se quer: representar f(x) como uma série de potências em (x+1), isto é, encontrar coeficientes c_n tais que
f(x)=\sum_{n=0}^{\infty} c_n (x+1)^n
em alguma vizinhança de x=-1.

Passo 2

Estratégia e ideia básica (sem cálculos ainda).
  • Para fazer uma expansão em torno de a=-1 é conveniente introduzir a variável deslocamento
h = x+1,
assim o ponto a=-1 corresponde a h=0. Em geral, reescrever a função em termos de h e usar séries conhecidas (por exemplo a série geométrica) costuma ser mais simples do que aplicar diretamente a fórmula de Taylor com derivadas complicadas.
  • Uma série muito útil é a série geométrica
\frac{1}{1-z}=\sum_{n=0}^{\infty} z^{n}\qquad\text{para }|z|<1.
Diferenciando termo a termo essa série obtemos outra série conhecida:
\frac{1}{(1-z)^{2}}=\sum_{n=0}^{\infty} (n+1) z^{n}\qquad\text{para }|z|<1.
Vamos usar essa identidade com z=h=x+1, depois justificamos a região de validade.

Passo 3

Mudar de variável e simplificar a expressão.
Tomando h=x+1 (então x=-1+h), calcule x^{2}:
x^{2}=(-1+h)^{2}=(1-h)^{2}.
Portanto
f(x)=\frac{1}{x^{2}}=\frac{1}{(1-h)^{2}}.
Repare que agora f está escrita na forma \dfrac{1}{(1-z)^{2}} com z=h.

Passo 4

Usar a série derivada da geométrica.
A partir de
\frac{1}{1-z}=\sum_{n=0}^{\infty} z^{n}\quad(|z|<1),
derivando em z obtemos (diferenciação termo a termo é válida dentro do raio de convergência)
\frac{1}{(1-z)^{2}}=\sum_{n=0}^{\infty} (n+1) z^{n}\quad(|z|<1).
Agora substituímos z=h=x+1 para voltar à variável original.

Passo 5

Escrever a série em termos de x+1.
Substituindo z=h=x+1 na identidade anterior resulta
\frac{1}{(1-h)^{2}}=\sum_{n=0}^{\infty} (n+1) h^{n}
ou seja
\frac{1}{x^{2}}=\sum_{n=0}^{\infty} (n+1)\,(x+1)^{n}.

Passo 6

Verificação rápida dos primeiros termos por cálculo de derivadas (conforto didático).
  • Valor em a=-1:
f(-1)=\frac{1}{(-1)^{2}}=1,
então o termo constante deve ser 1.
  • Derivada:
f'(x)=-\frac{2}{x^{3}},\quad f'(-1)=2,
então o coeficiente de (x+1) na série de Taylor é f'(-1)=2.
  • Segunda derivada:
f''(x)=\frac{6}{x^{4}},\quad f''(-1)=6,
logo o coeficiente de (x+1)^{2} na expansão de Taylor é f''(-1)/2!=3.
Os primeiros termos da série dada em

Passo 7

1+2(x+1)+3(x+1)^{2}+4(x+1)^{3}+\cdots,
coerentes com as derivadas calculadas.

Passo 8

Raio de convergência e intervalo de validade.
A série derivada da geométrica converge para |z|<1. Aqui z=x+1, logo a expansão é válida para
|x+1|<1.
Isso também pode ser visto geometricamente: a função 1/x^{2} tem singularidade mais próxima do ponto x=-1 em x=0, cuja distância a -1 é 1; o raio de convergência de uma série de potências centrada em -1 é a distância até a singularidade mais próxima, portanto R=1.

Resposta

\frac{1}{x^{2}}=\sum_{n=0}^{\infty} (n+1)\,(x+1)^{n}=1+2(x+1)+3(x+1)^{2}+4(x+1)^{3}+\cdots,\qquad |x+1|<1.

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