Encontre d y / d x por derivaçăo implicita.
x^1-x y^2+y^3=1

Passo 1

O enunciado pede para achar dydx por derivação implícita a partir da equação
x ;-; x,y^2 ;+; y^3 ;=; 1
O conteúdo necessário é a regra do produto (para o termo x,y^2) e a regra da cadeia (para o termo y^3).

Passo 2

Aplicamos a derivada em ambos os lados da igualdade em relação a x. Assim, derivamos cada termo de
x ;-; x,y^2 ;+; y^3
igual à derivada de 1:
ddx(x) ;-;ddx(x,y^2) ;+;ddx(y^3) ;=; ddx(1)

Passo 3

Derivada de x é 1. Para ddx(x,y^2) usamos a regra do produto, lembrando que y=y(x):
ddx(x,y^2) = 1cdot y^2 ;+; xcdot ddx(y^2) = y^2 + xcdot 2y,dydx = y^2 + 2xy,dydx

Passo 4

Derivada de y^3 pela regra da cadeia é 3y^2dydx. E derivada de 1 é 0. Substituindo:
1 ;-;l(y^2 + 2xy,tfracdydxr) ;+;3y^2tfracdydx ;=;0

Passo 5

Reorganizando os termos para isolar dydx:
1 - y^2 - 2xy,dydx + 3y^2dydx = 0 ;Longrightarrow; (-2xy + 3y^2)dydx + (1 - y^2) = 0
Logo,
(3y^2-2xy)dydx = y^2-1 Longrightarrow dydx = y^2-13y^2-2xy

Resposta

dydx = y^2 - 13y^2 - 2xy

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