Expresse dy/dx em termos de x e y, onde y=f(x) é uma função diferenciável dada implicitamente pela função abaixo e assinale a alternativa correta:
x y+sen(y)=x
A)
d yd x=yx+cos (y)
B)
d yd x=1x+cos (y)
C)
dydx=1-ycos (y)
D)
d yd x=1-yx+cos (y)

Passo 1

O enunciado diz que temos uma função implícita
x,y + sin(y) = x
e pede para achar dfracdydx em termos de x e y.
Conteúdo: derivação implícita, que usa a regra do produto e a regra da cadeia.

Passo 2

Vamos derivar ambos os lados em relação a x.
  • Derivada de x,y: pela regra do produto,
    dfracddx(x,y) = x,dfracdydx + y.
  • Derivada de sin(y): pela regra da cadeia,
    dfracddx[sin(y)] = cos(y),dfracdydx
  • Derivada de x no lado direito é 1.
Logo, ao derivar a equação inteira:
x,dfracdydx + y ;+;cos(y),dfracdydx ;=; 1

Passo 3

Agora vamos isolar dfracdydx.
  1. Agrupando os termos com dfracdydx:
(x + cos(y)),dfracdydx + y = 1
  1. Subtraindo y dos dois lados:
(x + cos(y)),dfracdydx = 1 - y
  1. Dividindo por (x + cos(y)):
dfracdydx = 1 - y,x + cos(y),

Resposta

dydx = 1 - yx + cos(y),
ou seja, alternativa D.

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