1. Escreva a equação do plano tangente e as equações da reta normal ao paraboloide z=x^2+y^2, no ponto ( 1,-2,5 ).

Passo 1

O enunciado pede a equação do plano tangente e da reta normal ao paraboloide
z = x^2 + y^2
no ponto (1,-2,5).
Conteúdo: derivadas parciais para obter o plano tangente a uma superfície do tipo z=f(x,y) e uso do vetor normal para a reta normal.

Passo 2

Para o paraboloide definimos f(x,y)=x^2+y^2. Calculamos as derivadas parciais:
fx(x,y)=partialpartial x(x^2+y^2)=2x, fy(x,y)=partialpartial y(x^2+y^2)=2y
No ponto (1,-2) isso vale
fx(1,-2)=2cdot1=2, fy(1,-2)=2cdot(-2)=-4

Passo 3

A fórmula do plano tangente a z=f(x,y) em (x0,y0,z0) é
z - z0 = fx(x0,y0),(x - x0) + fy(x0,y0),(y - y0)
Substituindo (x0,y0,z0)=(1,-2,5) e fx=2, fy=-4, obtemos
z - 5 = 2,(x - 1) -4,(y + 2)

Passo 4

Simplificando a equação do plano:
z - 5 = 2x -2 ;-;4y -8 Longrightarrow z = 2x -4y -5
Em forma geral:
2x -4y - z -5 = 0

Passo 5

Para a reta normal usamos o vetor normal ao plano tangente. Num paraboloide z - x^2 - y^2=0 podemos definir
F(x,y,z)=x^2+y^2-z,
então
nabla F = l(2x,,2y,,-1r)
Em (1,-2,5) isso dá nabla F(1,-2,5)=(2,,-4,,-1), que é a direção da reta normal.

Passo 6

A reta normal em forma paramétrica com ponto base (1,-2,5) e vetor diretor (2,-4,-1) é
x = 1 + 2t, y = -2 -4t, z = 5 - t

Resposta

Plano tangente:
z = 2x -4y -5
Reta normal:
l x &= 1 + 2t, y &= -2 -4t, z &= 5 - t

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