Encontre a derivada de cada uma das funções abaixo. Identifique o domínio de cada uma delas e também de cada derivada.
Passo 1
O enunciado dá a função
definida por
e pede: (a) a derivada de
; (b) o domínio de
; (c) o domínio da derivada
. Informações relevantes dadas: a expressão dentro da raiz é
. Não há outras informações (por exemplo, figura ou restrições adicionais).
Passo 2
Determinar o domínio de
. Explicação didática: a raiz quadrada real
exige que o radicando
seja não negativo, ou seja
. Aqui
. Então devemos resolver a desigualdade
Resolvendo:
. As raízes são
e
. O produto
é positivo fora das raízes e zero nas raízes. Portanto a solução é
Logo o domínio de
é
.
Passo 3
Escolher o método para derivar. Aqui a função é uma composição:
com
. A técnica natural é a regra da cadeia, que é a forma mais simples e direta para composições do tipo
de uma função.
Passo 4
Relembrando a regra da cadeia (aula rápida): se temos uma função composta
e
e
são diferenciáveis no ponto considerado, então
No nosso caso
e
. A derivada de
em
(derivada da raiz) é
válida quando
. Aqui explico:
significa
, por isso surge o denominador com
.
Passo 5
Calcular
. Como
, aplicamos a regra de potência:
Agora aplicamos a regra da cadeia:
Passo 6
Simplificar a expressão da derivada. Cancelando o
do numerador com o
do denominador, obtemos a fórmula final (onde está implícito que estamos em pontos onde a fórmula faz sentido):
Mostro o que cada símbolo significa:
é a variável,
é a mesma raiz do enunciado; o quociente representa a taxa de variação instantânea de
em relação a
quando essa taxa é finita.
Passo 7
Determinar o domínio de
. A expressão
exige que o denominador seja bem definido e diferente de zero. Portanto precisamos de
(estritamente maior que zero), pois se
a raiz é zero e ocorreria divisão por zero. Assim o domínio da derivada é
isto é
.
Passo 8
Verificação e observações sobre os pontos
. Esses pontos pertencem ao domínio de
(a função vale 0 lá), mas não pertencem ao domínio de
porque a derivada tende a infinito ao aproximarmo-nos de
pelo lado admitido do domínio. Por exemplo, para
e
pequeno,
logo não existe derivada finita em
. Raciocínio análogo mostra que em
a diferença quociente unilateral tende a
. Conclusão:
não é diferenciável em
.
Resposta
Domínio de
:
\
\
Derivada:
Domínio de
: