Encontre a derivada de cada uma das funções abaixo. Identifique o domínio de cada uma delas e também de cada derivada.
f(s)=\sqrt{s^{2}-9}

Passo 1

O enunciado dá a função f definida por
f(s)=\sqrt{s^{2}-9}
e pede: (a) a derivada de f; (b) o domínio de f; (c) o domínio da derivada f'. Informações relevantes dadas: a expressão dentro da raiz é s^{2}-9. Não há outras informações (por exemplo, figura ou restrições adicionais).

Passo 2

Determinar o domínio de f. Explicação didática: a raiz quadrada real \sqrt{u} exige que o radicando u seja não negativo, ou seja u\ge 0. Aqui u(s)=s^{2}-9. Então devemos resolver a desigualdade
s^{2}-9\ge 0.
Resolvendo: s^{2}-9=(s-3)(s+3). As raízes são s=-3 e s=3. O produto (s-3)(s+3) é positivo fora das raízes e zero nas raízes. Portanto a solução é
s\le -3\quad\text{ou}\quad s\ge 3.
Logo o domínio de f é (-\infty,-3]\cup[3,\infty).

Passo 3

Escolher o método para derivar. Aqui a função é uma composição: f(s)=\sqrt{u(s)} com u(s)=s^{2}-9. A técnica natural é a regra da cadeia, que é a forma mais simples e direta para composições do tipo \sqrt{\cdot} de uma função.

Passo 4

Relembrando a regra da cadeia (aula rápida): se temos uma função composta F(s)=g(u(s)) e g e u são diferenciáveis no ponto considerado, então
F'(s)=g'(u(s))\cdot u'(s).
No nosso caso g(x)=\sqrt{x}=x^{1/2} e u(s)=s^{2}-9. A derivada de g em x (derivada da raiz) é
g'(x)=\frac{1}{2}x^{-1/2}=\frac{1}{2\sqrt{x}},
válida quando x>0. Aqui explico: x^{-1/2} significa 1/\sqrt{x}, por isso surge o denominador com 2\sqrt{x}.

Passo 5

Calcular u'(s). Como u(s)=s^{2}-9, aplicamos a regra de potência:
u'(s)=2s.
Agora aplicamos a regra da cadeia:
f'(s)=g'(u(s))\cdot u'(s)=\frac{1}{2\sqrt{u(s)}}\cdot 2s.

Passo 6

Simplificar a expressão da derivada. Cancelando o 2 do numerador com o 2 do denominador, obtemos a fórmula final (onde está implícito que estamos em pontos onde a fórmula faz sentido):
f'(s)=\frac{s}{\sqrt{s^{2}-9}}.
Mostro o que cada símbolo significa: s é a variável, \sqrt{s^{2}-9} é a mesma raiz do enunciado; o quociente representa a taxa de variação instantânea de f em relação a s quando essa taxa é finita.

Passo 7

Determinar o domínio de f'. A expressão f'(s)=\dfrac{s}{\sqrt{s^{2}-9}} exige que o denominador seja bem definido e diferente de zero. Portanto precisamos de s^{2}-9>0 (estritamente maior que zero), pois se s^{2}-9=0 a raiz é zero e ocorreria divisão por zero. Assim o domínio da derivada é
s^{2}-9>0\quad\Longrightarrow\quad |s|>3,
isto é (-\infty,-3)\cup(3,\infty).

Passo 8

Verificação e observações sobre os pontos s=\pm 3. Esses pontos pertencem ao domínio de f (a função vale 0 lá), mas não pertencem ao domínio de f' porque a derivada tende a infinito ao aproximarmo-nos de \pm 3 pelo lado admitido do domínio. Por exemplo, para s=3 e h>0 pequeno,
\frac{f(3+h)-f(3)}{h}=\frac{\sqrt{6h+h^{2}}}{h}=\frac{\sqrt{h}\sqrt{6+h}}{h}=\frac{\sqrt{6+h}}{\sqrt{h}}\to+\infty,
logo não existe derivada finita em s=3. Raciocínio análogo mostra que em s=-3 a diferença quociente unilateral tende a -\infty. Conclusão: f não é diferenciável em s=\pm 3.

Resposta

Domínio de f: (-\infty,-3]\cup[3,\infty)
\
Derivada: f'(s)=\frac{s}{\sqrt{s^{2}-9}}
Domínio de f': (-\infty,-3)\cup(3,\infty)

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