Encontre a derivada de cada uma das funções abaixo. Identifique o domínio de cada uma delas e também de cada derivada.
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Passo 1
O enunciado pede duas coisas: (1) calcular a derivada da função
dada por
e (2) identificar o domínio de
e o domínio de
. As informações dadas são exatamente a expressão de
. Não há restrições adicionais no enunciado.
Passo 2
Vamos organizar a função em partes para aplicar regras de diferenciação com calma. Defino
e a constante
Então podemos escrever
. Note que é importante verificar se
é sempre positivo quando elevamos a uma potência real
: aqui
para todo
, portanto
. Logo a base é sempre positiva e a função está bem definida para todo
. Assim o domínio de
é
.
Passo 3
Vou usar a regra da cadeia combinada com a regra do poder para expoente constante. A regra geral que vamos usar é:
onde
é uma função diferenciável e
é uma constante real. Explicando: derivamos primeiro a “parte externa”
dando
(isso é a regra do poder com expoente constante) e depois multiplicamos pela derivada da “parte interna”
(isso é a regra da cadeia).
Passo 4
Calculo
. Como
, a derivada é
Agora aplico a fórmula do passo anterior com
e
:
Passo 5
Organizando o resultado de forma mais clean:
Esse é o resultado final para a derivada. Pequena observação: como
para todo
, a expressão
está bem definida em todos os reais, mesmo que o expoente seja não inteiro ou negativo.
Passo 6
Vou mostrar rapidamente uma verificação alternativa (truque útil na prova): fazer diferenciação logarítmica. Tome
dos dois lados:
Derivando ambos os lados:
Multiplicando por
obtemos
o que confirma o resultado anterior.
Passo 7
Domínios: como já observado,
para todo
, então tanto
quanto a expressão encontrada para
estão bem definidas para todo
. Portanto o domínio de
e de
é
.
Resposta
Domínio de
Domínio de