Encontre a derivada de cada uma das funções abaixo. Identifique o domínio de cada uma delas e também de cada derivada.
g(t)=\left(t^{4}+9\right)^{\ln 10}

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: (1) calcular a derivada da função g dada por \displaystyle g(t)=\bigl(t^{4}+9\bigr)^{\ln(10)} e (2) identificar o domínio de g e o domínio de g'. As informações dadas são exatamente a expressão de g(t). Não há restrições adicionais no enunciado.

Passo 2

Vamos organizar a função em partes para aplicar regras de diferenciação com calma. Defino
u(t)=t^{4}+9
e a constante
a=\ln(10).
Então podemos escrever g(t)=u(t)^{a}. Note que é importante verificar se u(t) é sempre positivo quando elevamos a uma potência real a: aqui t^{4}\ge 0 para todo t, portanto u(t)=t^{4}+9\ge 9>0. Logo a base é sempre positiva e a função está bem definida para todo t\in\mathbb{R}. Assim o domínio de g é (-\infty,\infty).

Passo 3

Vou usar a regra da cadeia combinada com a regra do poder para expoente constante. A regra geral que vamos usar é:
\frac{d}{dt}\bigl(u(t)^{a}\bigr)=a\,u(t)^{\,a-1}\,u'(t),
onde u(t) é uma função diferenciável e a é uma constante real. Explicando: derivamos primeiro a “parte externa” x\mapsto x^{a} dando a x^{a-1} (isso é a regra do poder com expoente constante) e depois multiplicamos pela derivada da “parte interna” u'(t) (isso é a regra da cadeia).

Passo 4

Calculo u'(t). Como u(t)=t^{4}+9, a derivada é
u'(t)=\frac{d}{dt}\bigl(t^{4}+9\bigr)=4t^{3}.
Agora aplico a fórmula do passo anterior com a=\ln(10) e u'(t)=4t^{3}:
g'(t)=\ln(10)\;u(t)^{\,\ln(10)-1}\;4t^{3}.

Passo 5

Organizando o resultado de forma mais clean:
g'(t)=4\ln(10)\;t^{3}\bigl(t^{4}+9\bigr)^{\ln(10)-1}.
Esse é o resultado final para a derivada. Pequena observação: como \bigl(t^{4}+9\bigr)>0 para todo t, a expressão \bigl(t^{4}+9\bigr)^{\ln(10)-1} está bem definida em todos os reais, mesmo que o expoente seja não inteiro ou negativo.

Passo 6

Vou mostrar rapidamente uma verificação alternativa (truque útil na prova): fazer diferenciação logarítmica. Tome \ln dos dois lados:
\ln\bigl(g(t)\bigr)=\ln(10)\,\ln\bigl(t^{4}+9\bigr).
Derivando ambos os lados:
\frac{g'(t)}{g(t)}=\ln(10)\cdot\frac{4t^{3}}{t^{4}+9}.
Multiplicando por g(t)=\bigl(t^{4}+9\bigr)^{\ln(10)} obtemos
g'(t)=\bigl(t^{4}+9\bigr)^{\ln(10)}\cdot\ln(10)\cdot\frac{4t^{3}}{t^{4}+9}=4\ln(10)\,t^{3}\bigl(t^{4}+9\bigr)^{\ln(10)-1},
o que confirma o resultado anterior.

Passo 7

Domínios: como já observado, t^{4}+9\ge 9>0 para todo t, então tanto g(t) quanto a expressão encontrada para g'(t) estão bem definidas para todo t\in\mathbb{R}. Portanto o domínio de g e de g' é (-\infty,\infty).

Resposta

g'(t)=4\ln(10)\,t^{3}\bigl(t^{4}+9\bigr)^{\ln(10)-1}\n
Domínio de g: (-\infty,\infty)\n
Domínio de g': (-\infty,\infty)

Exercícios relacionados