Encontre a derivada de cada uma das funções abaixo. Identifique o domínio de cada uma delas e também de cada derivada.
f(t)=\frac{\log _{10} t^{2}}{\ln t}

Passo 1

O enunciado pede para: (1) encontrar a derivada da função f; (2) identificar o domínio de f; (3) identificar o domínio da derivada f'. A função dada é
f(t)=\frac{\log_{10} t^{2}}{\ln t}.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • O numerador é \log_{10} t^{2}, que está definido para t\neq 0 (porque t^{2}>0 sempre que t\neq 0).
  • O denominador é \ln t, que exige t>0 e além disso não pode ser zero (portanto t\neq 1).
  • Como a fração só faz sentido quando o denominador é definido e não nulo, combinações acima determinam o domínio de f. A resolução verdadeira começa no próximo passo.

Passo 2

Vamos trabalhar com propriedades de logaritmos e mudança de base (aquelas ferramentas que salvam tempo na prova).
Propriedade 1 (potência dentro do logaritmo):
\log_{10} t^{2} = 2\log_{10} t,
válida sempre que o logaritmo \log_{10} t estiver definido (aqui precisamos de t>0 para usar \log_{10} t com base real e t real).
Propriedade 2 (mudança de base para ligar \log_{10} com \ln):
\log_{10} t = \frac{\ln t}{\ln 10},
porque \log_{a} x = \dfrac{\ln x}{\ln a}. Nesta fórmula \ln 10 é apenas uma constante positiva (aproximadamente 2{,}3026), e \ln t é a função natural do argumento t.

Passo 3

Aplicando as propriedades do passo anterior ao numerador:
\log_{10} t^{2} = 2\log_{10} t = 2\cdot\frac{\ln t}{\ln 10}=\frac{2\ln t}{\ln 10}.
Substituindo na definição de f obtemos, para t>0 e t\neq 1 (ou seja, quando \ln t está definido e diferente de zero),
f(t)=\frac{\frac{2\ln t}{\ln 10}}{\ln t}.
Agora simplificamos a fração cancelando \ln t (isso é legal enquanto \ln t\neq 0, por isso excluímos t=1):
f(t)=\frac{2}{\ln 10}\qquad\text{para }t>0,\\ t\neq 1.
Ou seja, na região onde f está definida, ela é uma constante igual a \dfrac{2}{\ln 10}.

Passo 4

Determinar o domínio de f. Reunindo as condições:
  • \ln t exige t>0.
  • \ln t não pode ser 0, então t\neq 1.
    Portanto o domínio de f é
(0,1)\cup(1,\infty).
Observação útil: embora \log_{10} t^{2} estivesse definido para t<0, o \ln t no denominador impede considerar t\le 0.

Passo 5

Agora derivamos. Como vimos em t>0,\\ t\neq 1 a função é a constante \dfrac{2}{\ln 10}, e a regra básica diz que a derivada de uma constante é zero. Logo
f'(t)=0\qquad\text{para }t\in(0,1)\cup(1,\infty).
Se quiser ver uma verificação por cálculo direto (útil para a prova), podemos aplicar a regra do quociente sem simplificar: defina u(t)=\log_{10} t^{2} e v(t)=\ln t. Então
u'(t)=\frac{2}{t\ln 10},\qquad v'(t)=\frac{1}{t}.
Pela regra do quociente,
f'(t)=\frac{u'v-uv'}{v^{2}} =\frac{\dfrac{2}{t\ln 10}\cdot \ln t - \log_{10} t^{2}\cdot\dfrac{1}{t}}{(\ln t)^{2}}.
Fatorando \dfrac{1}{t} no numerador:
f'(t)=\frac{\dfrac{1}{t}\Big(\dfrac{2\ln t}{\ln 10}-\log_{10} t^{2}\Big)}{(\ln t)^{2}}.
Mas \log_{10} t^{2}=\dfrac{2\ln t}{\ln 10}, então o numerador é zero e f'(t)=0. Isso confirma a conclusão acima.

Passo 6

Domínio da derivada: uma vez que f'(t)=0 está bem definida para todo t em que a função original existe (ou seja, onde pudemos simplificar), o domínio de f' é o mesmo do domínio de f:
\text{Domínio de }f'=(0,1)\cup(1,\infty).í
Nota final encorajadora: embora f não esteja definida em t=1, o limite de f(t) quando t\to 1 existe e vale \dfrac{2}{\ln 10}, então poderíamos estender f por continuidade em t=1; porém a função original do enunciado não tem valor em t=1, logo nem f nem f' estão definidas em t=1.

Resposta

Domínio de f: (0,1)\cup(1,\infty).
Para t no domínio, f(t)=\dfrac{2}{\ln 10}.
f'(t)=0 para todo t\in(0,1)\cup(1,\infty).
Domínio de f': (0,1)\cup(1,\infty).

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