Encontre a derivada de cada uma das funções abaixo. Identifique o domínio de cada uma delas e também de cada derivada.
Passo 1
O enunciado pede para: (1) encontrar a derivada da função
; (2) identificar o domínio de
; (3) identificar o domínio da derivada
. A função dada é
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- O numerador é
, que está definido para (porque sempre que ). - O denominador é
, que exige e além disso não pode ser zero (portanto ). - Como a fração só faz sentido quando o denominador é definido e não nulo, combinações acima determinam o domínio de
. A resolução verdadeira começa no próximo passo.
Passo 2
Vamos trabalhar com propriedades de logaritmos e mudança de base (aquelas ferramentas que salvam tempo na prova).
Propriedade 1 (potência dentro do logaritmo):
Propriedade 1 (potência dentro do logaritmo):
válida sempre que o logaritmo
estiver definido (aqui precisamos de
para usar
com base real e
real).
Propriedade 2 (mudança de base para ligar com
):
Propriedade 2 (mudança de base para ligar
porque
. Nesta fórmula
é apenas uma constante positiva (aproximadamente
), e
é a função natural do argumento
.
Passo 3
Aplicando as propriedades do passo anterior ao numerador:
Substituindo na definição de
obtemos, para
e
(ou seja, quando
está definido e diferente de zero),
Agora simplificamos a fração cancelando
(isso é legal enquanto
, por isso excluímos
):
Ou seja, na região onde
está definida, ela é uma constante igual a
.
Passo 4
Determinar o domínio de
. Reunindo as condições:
-
exige . -
não pode ser , então .
Portanto o domínio deé
Observação útil: embora
estivesse definido para
, o
no denominador impede considerar
.
Passo 5
Agora derivamos. Como vimos em
a função é a constante
, e a regra básica diz que a derivada de uma constante é zero. Logo
Se quiser ver uma verificação por cálculo direto (útil para a prova), podemos aplicar a regra do quociente sem simplificar: defina
e
. Então
Pela regra do quociente,
Fatorando
no numerador:
Mas
, então o numerador é zero e
. Isso confirma a conclusão acima.
Passo 6
Domínio da derivada: uma vez que
está bem definida para todo
em que a função original existe (ou seja, onde pudemos simplificar), o domínio de
é o mesmo do domínio de
:
Nota final encorajadora: embora
não esteja definida em
, o limite de
quando
existe e vale
, então poderíamos estender
por continuidade em
; porém a função original do enunciado não tem valor em
, logo nem
nem
estão definidas em
.
Resposta
Domínio de
:
.
Para no domínio,
.
para todo
.
Domínio de :
.
Para
Domínio de