Verifique que y=e^{-3 x} satisfaz a equação y^{\prime \prime}+2 y^{\prime}-3 y=0 enquanto que y=5 x e^{-4 x} satisfaz y^{\prime \prime}+8 y^{\prime}+16 y=0.

Passo 1

O enunciado pede para verificar duas afirmações (duas verificações separadas). As informações dadas são: primeiro temos a função \,y=e^{-3 x}\, e a equação diferencial linear homogênea \,y^{\prime \prime}+2 y^{\prime}-3 y=0\,. Segundo temos a função \,y=5 x e^{-4 x}\, e a equação diferencial linear homogênea \,y^{\prime \prime}+8 y^{\prime}+16 y=0\,.
As perguntas são: (1) mostrar passo a passo que \,y=e^{-3 x}\, satisfaz \,y^{\prime \prime}+2 y^{\prime}-3 y=0\,; (2) mostrar passo a passo que \,y=5 x e^{-4 x}\, satisfaz \,y^{\prime \prime}+8 y^{\prime}+16 y=0\,.

Passo 2

Vou lembrar as regras de diferenciação que usarei (com explicação simples e exemplos pequenos):
  • Regra da cadeia: se \,y=f(g(x)), então \,y' = f'(g(x))\cdot g'(x). Em palavras: deriva-se a função externa e multiplica-se pela derivada da função interna. Exemplo curto: derivada de \,e^{ax} é \,a e^{ax} porque a derivada de ax é a.
  • Regra do produto: se \,y=u(x)v(x), então \,y' = u'(x)v(x)+u(x)v'(x). Exemplo curto: derivada de \,x e^{ax} é \,1\cdot e^{ax} + x \cdot a e^{ax} = (1+ax)e^{ax}.
    Vou aplicar essas regras passo a passo, mostrando todas as contas.

Passo 3

Verificação 1: comece calculando as derivadas de \,y=e^{-3 x}\,.
Derivada primeira (aplicando a regra da cadeia):
y' = \frac{d}{dx}\big(e^{-3 x}\big) = (-3)\,e^{-3 x}.
Expliquei: a função externa é e^{(\cdot)} cuja derivada é e^{(\cdot)}, e a derivada da interna -3x é -3, por isso o fator -3.

Passo 4

Ainda para \,y=e^{-3 x}\,, calcule a derivada segunda (derivar y'):
y'' = \frac{d}{dx}\big((-3)e^{-3 x}\big) = (-3)\cdot(-3)\,e^{-3 x} = 9\,e^{-3 x}.
Expliquei: derivei -3 e^{-3x} aplicando novamente a regra da cadeia; o fator -3 se repete.

Passo 5

Agora substituo \,y, y', y''\, na equação \,y^{\prime \prime}+2 y^{\prime}-3 y\, e simplifico:
y'' + 2y' - 3y = 9 e^{-3x} + 2(-3 e^{-3x}) - 3 e^{-3x}.
Agrupando fator comum e^{-3x}:
= \big(9 + 2\cdot(-3) - 3\big) e^{-3x} = (9 -6 -3) e^{-3x} = 0\cdot e^{-3x} = 0.
Portanto \,y=e^{-3 x}\, satisfaz \,y^{\prime \prime}+2 y^{\prime}-3 y=0\,.

Passo 6

Verificação 2: comece calculando as derivadas de \,y=5 x e^{-4 x}\,. Use a regra do produto com u(x)=5x e v(x)=e^{-4x}. Primeiro a derivada primeira:
y' = \frac{d}{dx}(5x)\cdot e^{-4x} + 5x\cdot\frac{d}{dx}(e^{-4x}).
Calcule cada termo: \frac{d}{dx}(5x)=5 e \frac{d}{dx}(e^{-4x})=(-4)e^{-4x}. Substituindo:
y' = 5 e^{-4x} + 5x\cdot(-4)e^{-4x} = \big(5 -20x\big) e^{-4x}.
Expliquei: juntei os termos em um fator e^{-4x} para simplificar.

Passo 7

Agora calcule a derivada segunda y''. Vou derivar y' = (5 -20x)e^{-4x} aplicando novamente a regra do produto, com \tilde u(x)=5-20x e \tilde v(x)=e^{-4x}. Então
y'' = \tilde u'(x)\,\tilde v(x) + \tilde u(x)\,\tilde v'(x).
Aqui \tilde u'(x)=-20 e \tilde v'(x)=-4 e^{-4x}. Substituindo:
y'' = (-20)e^{-4x} + (5-20x)(-4)e^{-4x}.
Simplificando dentro do parêntese e fatorando e^{-4x}:
y'' = \big(-20 -4\cdot5 +80x\big) e^{-4x} = \big(-20 -20 +80x\big) e^{-4x} = \big(-40 +80x\big) e^{-4x}.

Passo 8

Substitua \,y, y', y''\, na expressão \,y'' + 8y' + 16y\, e simplifique:
y'' + 8y' + 16y = \big(-40 +80x\big)e^{-4x} + 8\big(5 -20x\big)e^{-4x} + 16\big(5x\big)e^{-4x}.
Fatorando e^{-4x} e somando os coeficientes dentro:
= \Big[(-40 +80x) + 8\cdot(5 -20x) + 16\cdot(5x)\Big] e^{-4x}.
Calcule cada termo numérico dentro dos colchetes: 8\cdot(5 -20x)=40 -160x e 16\cdot(5x)=80x. Somando:
(-40 +80x) + (40 -160x) + (80x) = (-40+40) + (80x -160x +80x) = 0 + 0 = 0.
Logo a expressão inteira é 0\cdot e^{-4x}=0. Portanto \,y=5 x e^{-4 x}\, satisfaz \,y^{\prime \prime}+8 y^{\prime}+16 y=0\,.

Resposta

\,y=e^{-3 x} satisfaz \,y^{\prime \prime}+2 y^{\prime}-3 y=0.\n \,y=5 x e^{-4 x} satisfaz \,y^{\prime \prime}+8 y^{\prime}+16 y=0.

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