Verifique que
satisfaz a equação
enquanto que
satisfaz
.
Passo 1
O enunciado pede para verificar duas afirmações (duas verificações separadas). As informações dadas são: primeiro temos a função
e a equação diferencial linear homogênea
. Segundo temos a função
e a equação diferencial linear homogênea
.
As perguntas são: (1) mostrar passo a passo que satisfaz
; (2) mostrar passo a passo que
satisfaz
.
As perguntas são: (1) mostrar passo a passo que
Passo 2
Vou lembrar as regras de diferenciação que usarei (com explicação simples e exemplos pequenos):
- Regra da cadeia: se
, então . Em palavras: deriva-se a função externa e multiplica-se pela derivada da função interna. Exemplo curto: derivada de é porque a derivada de é . - Regra do produto: se
, então . Exemplo curto: derivada de é .
Vou aplicar essas regras passo a passo, mostrando todas as contas.
Passo 3
Verificação 1: comece calculando as derivadas de
.
Derivada primeira (aplicando a regra da cadeia):
Derivada primeira (aplicando a regra da cadeia):
Expliquei: a função externa é
cuja derivada é
, e a derivada da interna
é
, por isso o fator
.
Passo 4
Ainda para
, calcule a derivada segunda (derivar
):
Expliquei: derivei
aplicando novamente a regra da cadeia; o fator
se repete.
Passo 5
Agora substituo
na equação
e simplifico:
Agrupando fator comum
:
Portanto
satisfaz
.
Passo 6
Verificação 2: comece calculando as derivadas de
. Use a regra do produto com
e
. Primeiro a derivada primeira:
Calcule cada termo:
e
. Substituindo:
Expliquei: juntei os termos em um fator
para simplificar.
Passo 7
Agora calcule a derivada segunda
. Vou derivar
aplicando novamente a regra do produto, com
e
. Então
Aqui
e
. Substituindo:
Simplificando dentro do parêntese e fatorando
:
Passo 8
Substitua
na expressão
e simplifique:
Fatorando
e somando os coeficientes dentro:
Calcule cada termo numérico dentro dos colchetes:
e
. Somando:
Logo a expressão inteira é
. Portanto
satisfaz
.