Seja P o pentágono em R^2 cujos vétices, quando percorridos no sentido anti-horário, são
(0,0) (1,0) (100,2) (72,4) (0,3)
Calcule a área do pentágono em R^2 cujos vétices, quando percorridos no sentido anti-horário, são
(0,0) (1,0) (100,2) (58,4) (0,3)

Passo 1

O enunciado dá um pentágono em R^2 com vértices, em sentido anti-horário,
(0,0),;(1,0),;(100,2),;(58,4),;(0,3)
e pede a sua área. O método mais direto é usar a fórmula do polígono simples (também chamada de “algoritmo do sapateiro” ou regra de Gauss).

Passo 2

Anotamos os vértices (xi,yi) em sequência cíclica e repetimos o primeiro ao final:
(x1,y1)=(0,0),; (x2,y2)=(1,0),; (x3,y3)=(100,2),; (x4,y4)=(58,4),; (x5,y5)=(0,3),; (x6,y6)=(x1,y1)=(0,0)
A fórmula diz:
Área = 12l|sumi=1^5xi,yi+1;-;sumi=1^5yi,xi+1r| Á

Passo 3

Calculamos os dois somatórios:
sumi=1^5xi,yi+1 =0cdot0 + 1cdot2 + 100cdot4 + 58cdot3 + 0cdot0 =0 + 2 + 400 + 174 + 0 =576,
sumi=1^5yi,xi+1 =0cdot1 + 0cdot100 + 2cdot58 + 4cdot0 + 3cdot0 =0 + 0 + 116 + 0 + 0 =116

Passo 4

Aplicando na fórmula:
Área = 12l|576 - 116r| = 12 cdot 460 =230 Á

Resposta

230

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