Encontre a derivada de cada uma das funçôes.
f(x)=x^{2 x}

Passo 1

O enunciado pede a derivada da função
f(x)=x^{2x}.
Isso envolve uma base e um expoente que dependem de x, então vamos usar diferenciação logarítmica para simplificar o processo.

Passo 2

Aplicamos o logaritmo natural em ambos os lados para transformar potência em produto. Seja
y = f(x)=x^{2x}.
Então
\ln y = \ln\bigl(x^{2x}\bigr) = 2x\ln x.

Passo 3

Agora diferenciamos implicitamente em relação a x. Do lado esquerdo vem
\frac{d}{dx}(\ln y) = \frac{1}{y}\,\frac{dy}{dx} = \frac{f'(x)}{f(x)},
e do lado direito, usando regra do produto em 2x\ln x,
\frac{d}{dx}(2x\ln x) = 2\ln x + 2x\cdot\frac{1}{x} = 2\ln x + 2.
Logo
\frac{f'(x)}{f(x)} = 2\ln x + 2.

Passo 4

Isolando f'(x), multiplicamos ambos os lados por f(x)=x^{2x}:
f'(x) = x^{2x}\,\bigl(2\ln x + 2\bigr).

Resposta

f'(x)=x^{2x}\,\bigl(2\ln x + 2\bigr).

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