Exercício 12. Esboce a região de integração e troque a ordem de integração:
\int_{\pi / 2}^{\pi} \int_{0}^{\operatorname{sen} x} f(x, y) d y d x.

Passo 1

O enunciado pede para esboçar a região
D=\{(x,y)\mid \tfrac{\pi}{2}\le x\le \pi,\;0\le y\le \sin x\}
e então trocar a ordem de integração na integral
\int_{\pi/2}^{\pi}\int_{0}^{\sin x}f(x,y)\,dy\,dx.
O conteúdo é estudar regiões definidas por curvas (aqui y=\sin x) e aplicar mudança da ordem de integração em integrais duplas.

Passo 2

Para esboçar D, note que, em x=\tfrac{\pi}{2} até x=\pi, a curva y=\sin x decresce de 1 a 0. A região D é tudo que fica entre o eixo x (onde y=0) e essa curva, no intervalo horizontal \bigl[\tfrac{\pi}{2},\pi\bigr].

Passo 3

Para inverter a ordem, cortamos a região por retas horizontais y=\text{const}. Vemos que y varia de 0 até o valor máximo 1. Dado um y\in[0,1], a desigualdade y\le\sin x no intervalo x\in[\tfrac{\pi}{2},\pi] equivale a
x\;\le\;\pi-\arcsin(y),
pois em [\tfrac{\pi}{2},\pi] a função \sin x é decrescente. Logo, para cada y, x vai de \tfrac{\pi}{2} até \pi-\arcsin(y).

Passo 4

Com esses novos limites, a integral com ordem trocada fica
\int_{y=0}^{1}\int_{x=\tfrac{\pi}{2}}^{\,\pi-\arcsin(y)}f(x,y)\,dx\,dy.

Resposta

\int_{0}^{1}\int_{\frac{\pi}{2}}^{\,\pi-\arcsin(y)}f(x,y)\,dx\,dy.

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