Exercício 12. Esboce a região de integração e troque a ordem de integração:
.
Passo 1
O enunciado pede para esboçar a região
e então trocar a ordem de integração na integral
O conteúdo é estudar regiões definidas por curvas (aqui
) e aplicar mudança da ordem de integração em integrais duplas.
Passo 2
Para esboçar
, note que, em
até
, a curva
decresce de
a
. A região
é tudo que fica entre o eixo
(onde
) e essa curva, no intervalo horizontal
.
Passo 3
Para inverter a ordem, cortamos a região por retas horizontais
. Vemos que
varia de
até o valor máximo
. Dado um
, a desigualdade
no intervalo
equivale a
pois em
a função
é decrescente. Logo, para cada
,
vai de
até
.
Passo 4
Com esses novos limites, a integral com ordem trocada fica