Encontre os pontos críticos eos máximos e mínimos absolutos de cada uma das funçoes.
f(x)=c^{x}+c^{-2 x}, \quad x \in[0,1]

Passo 1

O enunciado pede, para a função
f(x)=c^{x}+c^{-2x},\quad x\in[0,1],
que a gente encontre os pontos críticos (onde f'(x)=0) e também determine os máximos e mínimos absolutos nesse intervalo.
Conteúdo que vamos usar: derivada de potência c^x, teste de monotonia (sinal de f') e comparação de valores em pontos críticos e extremos do intervalo.

Passo 2

Vamos calcular f'(x).
Para c^x vale \bigl(c^x\bigr)'=c^x\ln\text{(c)} e para c^{-2x} vale \bigl(c^{-2x}\bigr)'=c^{-2x}(-2\ln\text{(c)}). Logo
f'(x)=c^x\ln\text{(c)}-2\,c^{-2x}\ln\text{(c)}=\ln\text{(c)}\bigl(c^x-2\,c^{-2x}\bigr).
Para achar pontos críticos, impomos f'(x)=0, isto é
\ln\text{(c)}\bigl(c^x-2\,c^{-2x}\bigr)=0.
Como \ln\text{(c)}=0 só acontece em c=1 (caso degenerado), tomamos \ln\text{(c)}\neq0 e obtemos
c^x=2\,c^{-2x} \quad\Longrightarrow\quad c^{3x}=2 \quad\Longrightarrow\quad 3x\ln\text{(c)}=\ln(2) \quad\Longrightarrow\quad x_0=\frac{\ln(2)}{3\ln\text{(c)}}.

Passo 3

Precisamos ver quando x_0 está de fato em [0,1].
  • Se c>1, \ln\text{(c)}>0 e
x_0\le1 \;\Longleftrightarrow\; \frac{\ln(2)}{3\ln\text{(c)}}\le1 \;\Longleftrightarrow\; \ln\text{(c)}\ge\frac{\ln(2)}{3} \;\Longleftrightarrow\; c\ge2^{1/3}.
  • Se 0<c<1, \ln\text{(c)}<0 e \ln(2)/(3\ln\text{(c)})<0, então x_0 cai fora de [0,1].
  • No caso especial c=1, f(x)\equiv2 é constante e todo ponto é crítico.
Logo há um ponto crítico interior em [0,1] exatamente quando
c>2^{1/3}.

Passo 4

Vamos anotar os valores em x=0, em x=1 e, quando existir, em x=x_0:
  1. f(0)=c^0+c^0=1+1=2.
  2. f(1)=c^1+c^{-2}=c+c^{-2}.
  3. Se c>2^{1/3},
f(x_0) =c^{x_0}+c^{-2x_0} =2^{1/3}+2^{-2/3} =2^{-2/3}\,(2+1) =3\,2^{-2/3}\approx1{,}889.

Passo 5

Agora comparamos para determinar máximos e mínimos absolutos.
  • Caso 0<c\le2^{1/3}: não há ponto crítico interior e o sinal de f'(x) é o mesmo em todo [0,1]. De fato,
  • se c<1, \ln\text{(c)}<0 e vê-se que f'(x)>0: f é crescente;
  • se 1<c\le2^{1/3}, \ln\text{(c)}>0 mas c^{3x}<2 em todo [0,1], logo de novo f'(x)>0.
    Portanto f cresce nesse intervalo e
\min_{[0,1]}f=f(0)=2, \quad \max_{[0,1]}f=f(1)=c+c^{-2}.
  • Caso c>2^{1/3}: existe x_0\in(0,1) e o sinal de f' muda de negativo (em x<x_0) para positivo (em x>x_0). Logo
f\text{ decresce em }[0,x_0]\text{ e cresce em }[x_0,1],
o que faz de x_0 um mínimo absoluto com valor
f(x_0)=3\,2^{-2/3}.
Para o máximo absoluto, comparamos f(0)=2 e f(1)=c+c^{-2}.
A desigualdade
c+c^{-2}\\ ?\\\ 2
equivale a
c^3-2c^2+1\\ \\ ?\\\ 0 \quad\Longleftrightarrow\quad (c-1)(c^2-c-1)\\ \\ ?\\\ 0.
O fator c^2-c-1 anula-se em c=\tfrac{1+\sqrt5}2\approx1{,}618.
  • Se 2^{1/3}<c<\tfrac{1+\sqrt5}2, então c+c^{-2}<2 e o máximo ocorre em x=0.
  • Se c>\tfrac{1+\sqrt5}2, então c+c^{-2}>2 e o máximo ocorre em x=1.
  • Em c=\tfrac{1+\sqrt5}2, dá empate: f(0)=f(1)=2.

Resposta

Para 0<c\le2^{1/3}\): \(\;f\) é crescente em \([0,1]\), \[\min f=f(0)=2, \quad \max f=f(1)=c+c^{-2}.
Para c>2^{1/3}:
x_0=\frac{\ln(2)}{3\ln\text{(c)}}\quad\text{é o único mínimo absoluto,}éúí
f(x_0)=3\,2^{-2/3}.
O máximo absoluto é
\begin{cases} x=0,&\text{se }2^{1/3}<c<\tfrac{1+\sqrt5}2,\\\ x=1,&\text{se }c>\tfrac{1+\sqrt5}2,\\\ x=0\text{ ou }1,&\text{se }c=\tfrac{1+\sqrt5}2. \end{cases}
Em c=1\], \(f(x)\equiv2 e toda x\in[0,1] é ponto crítico com valor constante.

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