Exercício 13. Esboce a região de integração, troque a ordem e calcule as seguintes integrais:
\int_{0}^{1} \int_{y}^{1} \operatorname{sen}\left(x^{2}\right) d x d y;

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral iterada
\int_{0}^{1}\!\int_{y}^{1}\sin\bigl(x^{2}\bigr)\,dx\,dy
trocando a ordem de integração. O conteúdo envolve interpretação de região de integração no plano e troca de ordem para viabilizar o cálculo por substituição.

Passo 2

A região de integração D é
D = \{(x,y)\mid 0\le y\le 1,\;y\le x\le 1\}.
Em palavras, é o triângulo no primeiro quadrante limitado pelas retas y=0, x=1 e a diagonal x=y.

Passo 3

Para trocar a ordem, descrevemos D como
D = \{(x,y)\mid 0\le x\le 1,\;0\le y\le x\}.
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\int_{0}^{1}\!\int_{y}^{1}\sin\bigl(x^{2}\bigr)\,dx\,dy =\int_{0}^{1}\!\int_{0}^{x}\sin\bigl(x^{2}\bigr)\,dy\,dx.

Passo 4

Integramos primeiro em y:
\int_{0}^{x}\sin\bigl(x^{2}\bigr)\,dy =\bigl[y\bigr]_{0}^{x}\,\sin\bigl(x^{2}\bigr) = x\,\sin\bigl(x^{2}\bigr).
Assim a integral vira
\int_{0}^{1}x\,\sin\bigl(x^{2}\bigr)\,dx.

Passo 5

Fazemos a substituição u=x^{2}, du=2x\,dx, então x\,dx = \tfrac{1}{2}du e os limites vão de u(0)=0 a u(1)=1.
\int_{0}^{1}x\,\sin\bigl(x^{2}\bigr)\,dx =\frac{1}{2}\int_{0}^{1}\sin(u)\,du =\frac{1}{2}\bigl[-\cos(u)\bigr]_{0}^{1} =\frac{1}{2}\bigl(\!-\cos(1)+\cos(0)\bigr).

Resposta

\frac{1-\cos(1)}{2}.

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