Encontre os pontos críticos eos máximos e mínimos absolutos de cada uma das funçoes.
f(x)=x-2 \cos x, x \in[-2,0]

Passo 1

O enunciado pede para a função
f(x)=x - 2\cos x,\quad x\in[-2,0],
encontrar os pontos críticos (onde f'(x)=0) e depois determinar os máximos e mínimos absolutos num intervalo fechado. O plano é: (i) calcular f'(x) e achar onde ela se anula dentro de [-2,0]; (ii) avaliar f nesse ponto crítico e nos extremos x=-2 e x=0; (iii) comparar os valores para identificar máximo e mínimo absolutos.

Passo 2

Calculemos a derivada:
f'(x)=\frac{d}{dx}\bigl(x\bigr)-2\frac{d}{dx}\bigl(\cos x\bigr) =1 + 2\sin x.
Para achar pontos críticos, resolvemos
f'(x)=0 \quad\Longrightarrow\quad 1 + 2\sin x=0 \quad\Longrightarrow\quad \sin x=-\tfrac12.
As soluções gerais são
x=-\frac{\pi}{6}+2k\pi \quad\text{ou}\quad x=\frac{7\pi}{6}+2k\pi,
mas, no intervalo [-2,0], o único que cabe é
x_*=-\frac{\pi}{6}\quad(-2\approx-2{,}0<-\tfrac{\pi}{6}\approx-0{,}524<0).

Passo 3

Avaliamo-s f em x_* e nas bordas:
f\bigl(-\tfrac{\pi}{6}\bigr) =-\tfrac{\pi}{6}-2\cos\bigl(-\tfrac{\pi}{6}\bigr) =-\tfrac{\pi}{6}-2\cdot\tfrac{\sqrt3}{2} =-\tfrac{\pi}{6}-\sqrt3,
f(-2)=-2-2\cos(-2)=-2-2\cos2,
f(0)=0-2\cos0=-2.

Passo 4

Comparando numericamente (ou pela ordem algébrica) temos
f(-2)\approx -1{,}168,\quad f(0)=-2,\quad f\bigl(-\tfrac{\pi}{6}\bigr)\approx -2{,}256.
Logo o maior valor é em x=-2 e o menor em x=-\tfrac{\pi}{6}.

Resposta

Ponto crítico: x=-\tfrac{\pi}{6}.
Máximo absoluto: ocorre em x=-2 com
f(-2)=-2-2\cos2.
Mínimo absoluto: ocorre em x=-\tfrac{\pi}{6} com
f\bigl(-\tfrac{\pi}{6}\bigr)=-\tfrac{\pi}{6}-\sqrt3.

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