(1)Encontre a derivada e calcule o seu valor no ponto x=2.
2 y+x^2 y+1-x=0

Passo 1

Resumo do enunciado: temos a curva implícita 2y + x^{2}y + 1 - x = 0. O conteúdo é derivada implícita e vamos precisar encontrar y' = dydx e depois calcular seu valor em x = 2. Para isso também precisamos achar y(2).

Passo 2

Para determinar y(2), substituímos x=2 na equação original:
2y + (2)^2y + 1 - 2 = 0
Isso dá 6y - 1 = 0, logo y = tfrac16.

Passo 3

Fazemos a derivada implícita de cada termo em relação a x, lembrando que y = y(x):
ddx(2y) + ddx(x^2y) + ddx(1) - ddx(x) = 0

Passo 4

Calculamos as derivadas:
  • ddx(2y) = 2y'
  • ddx(x^2y) = 2x,y + x^2y'
  • ddx(1) = 0
  • ddx(x) = 1
    Substituindo, obtemos
2y' + (2x,y + x^2y') - 1 = 0 Longrightarrow (2 + x^2)y' + 2x,y -1 = 0
Isolando y':
y' = 1 - 2x,y2 + x^2

Passo 5

Agora substituímos x=2 e y=tfrac16 em y':
y'(2) = 1 - 2cdot2cdottfrac162 + 2^2 = 1 - tfrac466 = tfrac136 = tfrac118

Resposta

y'(2) = tfrac118

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