Encontre a derivada d y / d x :
y=\frac{\ln \operatorname{tg}(2 x)}{x^{3}-1}.

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
y = \frac{\ln\bigl(\tan(2x)\bigr)}{x^3 - 1}.
Aqui vamos usar a regra do quociente (para dividir duas funções), a regra da cadeia (para \ln e \tan) e a derivada de funções elementares ( \tan e potência).

Passo 2

Definimos o numerador como \displaystyle u(x) = \ln\bigl(\tan(2x)\bigr).
Para derivar u, aplicamos primeiro a derivada de \ln(v), que é v'/v, e depois a derivada de \tan(2x):
u'(x) = \frac{1}{\tan(2x)} \cdot \frac{d}{dx}\bigl[\tan(2x)\bigr] = \frac{1}{\tan(2x)} \cdot \bigl(\operatorname{sec}^2(2x)\bigr)\cdot 2 = \frac{2\,\operatorname{sec}^2(2x)}{\tan(2x)}.

Passo 3

O denominador é \displaystyle v(x) = x^3 - 1.
A derivada de v é imediata pela regra da potência:
v'(x) = 3x^2.

Passo 4

Agora aplicamos a regra do quociente:
y = \frac{u}{v} \quad\Longrightarrow\quad y' = \frac{v\,u' - u\,v'}{v^2}.
Substituindo u, u', v e v':
y' = \frac{(x^3 - 1)\,\dfrac{2\,\operatorname{sec}^2(2x)}{\tan(2x)} \;-\;\ln\bigl(\tan(2x)\bigr)\,\bigl(3x^2\bigr)} {(x^3 - 1)^2}.

Passo 5

Podemos deixar o resultado final organizado assim:
y' = \frac{2\,(x^3 - 1)\,\operatorname{sec}^2(2x)/\tan(2x)\;-\;3x^2\,\ln\bigl(\tan(2x)\bigr)}{(x^3 - 1)^2}.

Resposta

y' = \frac{2\,(x^3 - 1)\,\operatorname{sec}^2(2x)/\tan(2x)\;-\;3x^2\,\ln\bigl(\tan(2x)\bigr)}{(x^3 - 1)^2}.

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