Questão 3:
Seja f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} uma função cuja derivada no ponto x=1 é 2\left(f^{\prime}(1)=2\right).
Se g(t)=f\left(t^{2}+t-5\right) encontre g^{\prime}(2)= ?.

Passo 1

Resumindo o enunciado: temos uma função f\colon \mathbb{R}\to\mathbb{R} com derivada conhecida em x=1, ou seja, f'(1)=2. Definimos
g(t)=f\bigl(t^2 + t -5\bigr)
e precisamos encontrar g'(2). O conteúdo principal aqui é a regra da cadeia para derivadas de funções compostas.

Passo 2

Seja u(t)=t^2+t-5. Pela regra da cadeia,
g'(t)=\frac{d}{dt}f\bigl(u(t)\bigr)=f'\bigl(u(t)\bigr)\cdot u'(t).
Como
u'(t)=\frac{d}{dt}(t^2+t-5)=2t+1,
temos
g'(t)=f'\bigl(t^2+t-5\bigr)\,(2t+1).

Passo 3

Para avaliar em t=2, calculamos primeiro
u(2)=2^2+2-5=1,
e também
2\cdot2+1=5.
Logo,
g'(2)=f'(u(2))\times5=f'(1)\times5=2\times5=10.

Resposta

10

Exercícios relacionados