Questão 1:
Determine os valores a e b para que a função f abaixo seja contínua em toda a reta.
f(x)= \begin{cases}\frac{x^{2}-4}{x-2} ; & \text { se } x<2 \\\ a x+b ; & \text { se } 2 \leq x \leq 3 \\\ x^{2}-2 x ; & \text { se } x>3\end{cases}

Passo 1

O enunciado define uma função por partes
f(x)= \begin{cases} \frac{x^{2}-4}{x-2},&x<2,\\\ a x+b,&2\le x\le3,\\\ x^{2}-2x,&x>3, \end{cases}
e pede a e b para que f seja contínua em toda a reta. Isso significa que não pode haver “quebra” nos pontos x=2 e x=3.

Passo 2

Para garantir continuidade em x=2, igualamos o limite pela esquerda ao valor da função no ponto. Calculamos
\lim_{x\to2^-}\frac{x^2-4}{x-2} =\lim_{x\to2^-}(x+2)=4.
Como f(2)=2a+b, impomos
2a+b=4.

Passo 3

Para continuidade em x=3, igualamos o limite pela direita ao valor da função no ponto. A parte x>3 é contínua, então
\lim_{x\to3^+}(x^2-2x)=3^2-2\cdot3=3.
Como f(3)=3a+b, impomos
3a+b=3.

Passo 4

Resolvendo o sistema
\begin{cases} 2a+b=4,\\\\ 3a+b=3, \end{cases}
subtraindo a primeira equação da segunda vem
a=-1,
e então
b=4-2a=4-2(-1)=6.

Resposta

a=-1 e b=6.

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