Encontre a derivada d y / d x :
y=(1-x)^{5} \cdot e^{-x};

Passo 1

Resumo do enunciado: queremos calcular a derivada de y = (1 - x)^{5}\,e^{-x}.
O conteúdo é a regra do produto e a regra da cadeia para funções compostas.

Passo 2

Identificamos as duas funções do produto: u(x) = (1 - x)^{5} e v(x) = e^{-x}.
Aplicando a regra da cadeia, temos u'(x) = 5\,(1 - x)^{4} \cdot \frac{d}{dx}(1 - x) = 5\,(1 - x)^{4} \cdot (-1) = -5\,(1 - x)^{4},
e v'(x) = e^{-x}\cdot \frac{d}{dx}(-x) = e^{-x}\cdot(-1) = -e^{-x}.

Passo 3

Agora aplicamos a regra do produto:
\frac{dy}{dx} = u'(x)\,v(x) + u(x)\,v'(x) = \bigl(-5\,(1 - x)^{4}\bigr)\,e^{-x} \;+\; (1 - x)^{5}\,\bigl(-e^{-x}\bigr).

Passo 4

Fatorando e^{-x}(1 - x)^{4} em ambas parcelas, obtemos
\frac{dy}{dx} = e^{-x}(1 - x)^{4}\bigl(-5 - (1 - x)\bigr) = e^{-x}(1 - x)^{4}\bigl(x - 6\bigr).

Resposta

\frac{dy}{dx} = e^{-x}\,(1 - x)^{4}\,(x - 6).

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