Questão 1:
Calcule o seguinte limite \lim _{x \rightarrow \infty} \frac{15-9 x+8 x^{2}-3 x^{3}}{\sqrt{x^{6}+3 x^{2}-4}}

Passo 1

O enunciado pede
\lim_{x\to\infty}\frac{15-9x+8x^2-3x^3}{\sqrt{x^6+3x^2-4}}.
O conteúdo aqui é limite no infinito de uma expressão que envolve polinômio e radical. Para resolver, vamos usar a ideia de fatorar as maiores potências de x no numerador e no radicando, de modo a identificar o termo dominante e simplificar a expressão.

Passo 2

Fatoramos x^3 no numerador e x^6 dentro da raiz. Assim,
15-9x+8x^2-3x^3 = x^3\bigl(-3 + \tfrac{8}{x} - \tfrac{9}{x^2} + \tfrac{15}{x^3}\bigr),
\sqrt{x^6+3x^2-4} = \sqrt{x^6\Bigl(1 + \tfrac{3}{x^4} - \tfrac{4}{x^6}\Bigr)} = |x^3|\sqrt{1 + \tfrac{3}{x^4} - \tfrac{4}{x^6}}.
Como x\to\infty implica x>0, temos |x^3|=x^3.

Passo 3

Substituindo essas fatorações na fração original e cancelando x^3,
\frac{15-9x+8x^2-3x^3}{\sqrt{x^6+3x^2-4}} = \frac{x^3\bigl(-3 + \tfrac{8}{x} - \tfrac{9}{x^2} + \tfrac{15}{x^3}\bigr)} {x^3\sqrt{1 + \tfrac{3}{x^4} - \tfrac{4}{x^6}}} = \frac{-3 + \tfrac{8}{x} - \tfrac{9}{x^2} + \tfrac{15}{x^3}} {\sqrt{1 + \tfrac{3}{x^4} - \tfrac{4}{x^6}}}.

Passo 4

Agora aplicamos o limite x\to\infty. Todos os termos \tfrac{8}{x}, \tfrac{9}{x^2} e \tfrac{15}{x^3} tendem a zero, e dentro da raiz \tfrac{3}{x^4} e \tfrac{4}{x^6} também tendem a zero. Logo,
\lim_{x\to\infty}\bigl(-3 + \tfrac{8}{x} - \tfrac{9}{x^2} + \tfrac{15}{x^3}\bigr) = -3, \qquad \lim_{x\to\infty}\sqrt{1 + \tfrac{3}{x^4} - \tfrac{4}{x^6}} = 1.
Portanto, o valor do limite é -3.

Resposta

-3

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