Encontre o gradiente das seguintes funções no ponto dado.
Passo 1
O enunciado dá a função e o ponto e pede o gradiente nesse ponto. Dados que peguei do enunciado:
- Função:
. - Ponto onde avaliar:
.
O que é pedido: calcular
, ou seja, o vetor gradiente de
avaliado em
.
Passo 2
Definição e interpretação do gradiente (fórmula usada).
- O gradiente de uma função
de três variáveis é o vetor formado pelas derivadas parciais:
- Intuição rápida: cada componente diz a taxa de variação de
quando se mexe apenas naquela direção (por exemplo, é a variação de quando muda e ficam fixos).
Regra básica de derivação que usaremos (para polinômios): se
com
constante, então
Nas derivadas parciais aplicamos essa mesma regra tratando as outras variáveis como constantes.
Passo 3
Calcular
.
- Na função
só o termo depende de . - Aplicando a regra
com , obtemos
Passo 4
Calcular
.
- Só o termo
depende de . - Aplicando a regra com
, temos
Passo 5
Calcular
.
- Só o termo
depende de . - Aplicando a regra com
, obtemos
Passo 6
Escrever o gradiente geral e avaliar no ponto.
- Gradiente simbólico:
- Agora avaliamos em
. Substituindo , , :
Passo 7
Interpretação curta e checagem (ânimo): o resultado
é o vetor que aponta na direção de maior crescimento de
no ponto dado; seu comprimento é
caso queira saber a intensidade da subida. Vai dar bom na prova — você conseguiu!