Encontre o gradiente das seguintes funções no ponto dado.
f(x, y, z)=3 x^{2}-5 y^{2}+2 z^{2}, \quad(1,1,-2)

Passo 1

O enunciado dá a função e o ponto e pede o gradiente nesse ponto. Dados que peguei do enunciado:
  • Função: f(x,y,z)=3x^{2}-5y^{2}+2z^{2}.
  • Ponto onde avaliar: (1,1,-2).
O que é pedido: calcular \nabla f(1,1,-2), ou seja, o vetor gradiente de f avaliado em (1,1,-2).

Passo 2

Definição e interpretação do gradiente (fórmula usada).
  • O gradiente de uma função f(x,y,z) de três variáveis é o vetor formado pelas derivadas parciais:
\nabla f(x,y,z)=\left(\frac{\partial f}{\partial x},\;\frac{\partial f}{\partial y},\;\frac{\partial f}{\partial z}\right).
  • Intuição rápida: cada componente diz a taxa de variação de f quando se mexe apenas naquela direção (por exemplo, \partial f/\partial x é a variação de f quando x muda e y,z ficam fixos).
Regra básica de derivação que usaremos (para polinômios): se g(t)=a\,t^{n} com a constante, então
\frac{d}{dt}\bigl(a\,t^{n}\bigr)=a\cdot n\,t^{n-1}.
Nas derivadas parciais aplicamos essa mesma regra tratando as outras variáveis como constantes.

Passo 3

Calcular \displaystyle \frac{\partial f}{\partial x}.
  • Na função f(x,y,z)=3x^{2}-5y^{2}+2z^{2} só o termo 3x^{2} depende de x.
  • Aplicando a regra \dfrac{d}{dx}(a x^{2})=a\cdot 2x com a=3, obtemos
\frac{\partial f}{\partial x}=6x.

Passo 4

Calcular \displaystyle \frac{\partial f}{\partial y}.
  • Só o termo -5y^{2} depende de y.
  • Aplicando a regra com a=-5, temos
\frac{\partial f}{\partial y}=-10y.

Passo 5

Calcular \displaystyle \frac{\partial f}{\partial z}.
  • Só o termo 2z^{2} depende de z.
  • Aplicando a regra com a=2, obtemos
\frac{\partial f}{\partial z}=4z.

Passo 6

Escrever o gradiente geral e avaliar no ponto.
  • Gradiente simbólico:
\nabla f(x,y,z)=(6x,\,-10y,\;4z).
  • Agora avaliamos em (1,1,-2). Substituindo x=1, y=1, z=-2:
6x=6\cdot 1=6,\qquad -10y=-10\cdot 1=-10,\qquad 4z=4\cdot(-2)=-8.

Passo 7

Interpretação curta e checagem (ânimo): o resultado (6,-10,-8) é o vetor que aponta na direção de maior crescimento de f no ponto dado; seu comprimento é \sqrt{6^{2}+(-10)^{2}+(-8)^{2}}=\sqrt{200}=10\sqrt{2} caso queira saber a intensidade da subida. Vai dar bom na prova — você conseguiu!

Resposta

\nabla f(1,1,-2)=(6,-10,-8)

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