Encontre a equação do plano tangente à superfície
no ponto
.
Passo 1
O enunciado pede que eu encontre a equação do plano tangente à superfície
no ponto
.\n\nInformações importantes dadas:\n\n- A superfície está dada pela função
\n- O ponto onde queremos o plano tangente é
\n- O que se pede é a equação do plano que “toca” a superfície nesse ponto (plano tangente).
Passo 2
Ideia e fórmula que vou usar (explicação didática):\n\nQuando temos uma superfície dada por
o plano tangente em um ponto
é a aproximação linear de
em torno desse ponto. Essa aproximação vem do diferencial total. Se
e
são as derivadas parciais de
em relação a
e
, então a fórmula do plano tangente é\n\n
\n\nExplicando em miúdos: \n-
é a inclinação da superfície na direção em que só
varia (com
fixo). \n-
é a inclinação na direção em que só
varia (com
fixo). \nCombinar essas duas inclinações dá o plano que melhor aproxima a superfície perto do ponto.
Passo 3
Calcular as derivadas parciais de
.\n\n- Derivada parcial em relação a
:\n\n
\n\nAqui
é tratada como constante.
e
. Logo\n\n
\n\n- Derivada parcial em relação a
:\n\n
\n\nAqui
é constante.
e
. Logo\n\n
Passo 4
Avaliar as derivadas parciais no ponto
.\n\n- Para
:\n
\n\n- Para
:\n
Passo 5
Usar a fórmula do plano tangente com os valores calculados. Substituo
,
,
,
e
:\n\n
\n\nEscrevendo de forma mais limpa:\n\n
Passo 6
Simplificar a expressão e checar consistência com o ponto dado.\n\nExpandindo o lado direito:\n
\n\nPortanto temos\n
\n\nVerificação rápida: substituindo
e
no lado direito obtemos
, logo
e
, que é exatamente a coordenada
. Tudo consistente.