Encontre a equação do plano tangente à superfície
z=4 x^{2} y-y^{2} no ponto (1,-6,-8).

Passo 1

O enunciado pede que eu encontre a equação do plano tangente à superfície \;z=4x^{2}y-y^{2}\; no ponto \;(1,-6,-8).\n\nInformações importantes dadas:\n\n- A superfície está dada pela função \;z=f(x,y)=4x^{2}y-y^{2}\;.\n- O ponto onde queremos o plano tangente é \;(x_0,y_0,z_0)=(1,-6,-8)\;.\n- O que se pede é a equação do plano que “toca” a superfície nesse ponto (plano tangente).

Passo 2

Ideia e fórmula que vou usar (explicação didática):\n\nQuando temos uma superfície dada por \;z=f(x,y)\;, o plano tangente em um ponto \;(x_0,y_0,z_0) é a aproximação linear de \;f em torno desse ponto. Essa aproximação vem do diferencial total. Se \;f_x e \;f_y são as derivadas parciais de \;f em relação a \;x e \;y, então a fórmula do plano tangente é\n\n z-z_0 = f_x(x_0,y_0)\,(x-x_0) + f_y(x_0,y_0)\,(y-y_0).\n\nExplicando em miúdos: \n- \;f_x(x_0,y_0) é a inclinação da superfície na direção em que só \;x varia (com \;y fixo). \n- \;f_y(x_0,y_0) é a inclinação na direção em que só \;y varia (com \;x fixo). \nCombinar essas duas inclinações dá o plano que melhor aproxima a superfície perto do ponto.

Passo 3

Calcular as derivadas parciais de \;f(x,y)=4x^{2}y-y^{2}\;.\n\n- Derivada parcial em relação a \;x:\n\n f_x(x,y)=\frac{\partial}{\partial x}\big(4x^{2}y - y^{2}\big)=\frac{\partial}{\partial x}(4x^{2}y)-\frac{\partial}{\partial x}(y^{2}).\n\nAqui \;y é tratada como constante. \;\frac{\partial}{\partial x}(4x^{2}y)=4\cdot 2x\cdot y=8xy e \;\frac{\partial}{\partial x}(y^{2})=0. Logo\n\n f_x(x,y)=8xy.\n\n- Derivada parcial em relação a \;y:\n\n f_y(x,y)=\frac{\partial}{\partial y}\big(4x^{2}y - y^{2}\big)=\frac{\partial}{\partial y}(4x^{2}y)-\frac{\partial}{\partial y}(y^{2}).\n\nAqui \;x é constante. \;\frac{\partial}{\partial y}(4x^{2}y)=4x^{2} e \;\frac{\partial}{\partial y}(y^{2})=2y. Logo\n\n f_y(x,y)=4x^{2}-2y.

Passo 4

Avaliar as derivadas parciais no ponto \;(x_0,y_0)=(1,-6).\n\n- Para \;f_x:\n f_x(1,-6)=8\cdot 1\cdot(-6)=-48.\n\n- Para \;f_y:\n f_y(1,-6)=4\cdot 1^{2}-2\cdot(-6)=4+12=16.

Passo 5

Usar a fórmula do plano tangente com os valores calculados. Substituo \;x_0=1, \;y_0=-6, \;z_0=-8, \;f_x(1,-6)=-48 e \;f_y(1,-6)=16:\n\n z-(-8) = -48\,(x-1) + 16\,(y-(-6)).\n\nEscrevendo de forma mais limpa:\n\n z+8 = -48(x-1) + 16(y+6).

Passo 6

Simplificar a expressão e checar consistência com o ponto dado.\n\nExpandindo o lado direito:\n -48(x-1)+16(y+6) = -48x + 48 + 16y + 96 = -48x + 16y + 144.\n\nPortanto temos\n z+8 = -48x + 16y + 144.\n\nVerificação rápida: substituindo \;x=1 e \;y=-6 no lado direito obtemos -48\cdot1 + 16\cdot(-6) +144 = -48 -96 +144 =0, logo \;z+8=0 e \;z=-8, que é exatamente a coordenada z_0. Tudo consistente.

Resposta

z = -48x + 16y + 136

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