Encontre a equação do plano tangente à superfície
no ponto
.
Passo 1
O enunciado pede: encontrar a equação do plano tangente à superfície
no ponto
.
Informações dadas: a expressão da superfície é e o ponto onde se quer o plano tangente é
.
Informações dadas: a expressão da superfície é
Passo 2
Antes de tentar achar derivadas ou a equação do plano tangente, precisamos verificar se o ponto realmente pertence à superfície. Para um ponto
pertencer à superfície dada por
deve valer a igualdade
Isto implica, exponenciando ambos os lados,
Além disso, a função
só está definida para argumentos positivos, isto é, é necessário ter
.
Passo 3
Agora verifiquemos o ponto dado
. Calculemos
para
e
:
Isso dá
. Portanto o argumento do
seria
, e
não está definido no conjunto dos números reais. Além disso, se usamos
e a relação
, teríamos
, que também não é igual a
. Logo o ponto
não satisfaz a equação da superfície e, portanto, não pertence à superfície real
.
Passo 4
Conclusão lógica: como o plano tangente só faz sentido (no contexto real) em pontos que pertencem à superfície, não é possível determinar um plano tangente real à superfície
no ponto
porque esse ponto não está na superfície (o argumento do
é negativo).
Ainda que o ponto estivesse correto, o procedimento padrão para achar o plano tangente a
em um ponto
é: calcular as derivadas parciais
e usar a fórmula do plano tangente
válida somente quando
. Mas aqui não podemos aplicar porque
não satisfaz
.
Resposta
Não existe plano tangente real à superfície
no ponto
, pois
e
não está definido nos reais.