Encontre a equação do plano tangente à superfície
z=\ln \left(x^{2}-y\right) no ponto (-1,4,2).

Passo 1

O enunciado pede: encontrar a equação do plano tangente à superfície z=\ln\left(x^{2}-y\right) no ponto (-1,4,2).
Informações dadas: a expressão da superfície é z=\ln\left(x^{2}-y\right) e o ponto onde se quer o plano tangente é (-1,4,2).

Passo 2

Antes de tentar achar derivadas ou a equação do plano tangente, precisamos verificar se o ponto realmente pertence à superfície. Para um ponto (x,y,z) pertencer à superfície dada por z=\ln\left(x^{2}-y\right) deve valer a igualdade
z=\ln\left(x^{2}-y\right).
Isto implica, exponenciando ambos os lados,
e^{z}=x^{2}-y.
Além disso, a função \ln(\cdot) só está definida para argumentos positivos, isto é, é necessário ter x^{2}-y>0.

Passo 3

Agora verifiquemos o ponto dado (-1,4,2). Calculemos x^{2}-y para x=-1 e y=4:
(-1)^{2}-4 = 1-4 = -3.
Isso dá x^{2}-y=-3\le 0. Portanto o argumento do \ln seria -3, e \ln(-3) não está definido no conjunto dos números reais. Além disso, se usamos z=2 e a relação e^{z}=x^{2}-y, teríamos e^{2}\approx 7{,}389, que também não é igual a -3. Logo o ponto (-1,4,2) não satisfaz a equação da superfície e, portanto, não pertence à superfície real z=\ln\left(x^{2}-y\right).

Passo 4

Conclusão lógica: como o plano tangente só faz sentido (no contexto real) em pontos que pertencem à superfície, não é possível determinar um plano tangente real à superfície z=\ln\left(x^{2}-y\right) no ponto (-1,4,2) porque esse ponto não está na superfície (o argumento do \ln é negativo).
Ainda que o ponto estivesse correto, o procedimento padrão para achar o plano tangente a z=f(x,y) em um ponto (a,b,f(a,b)) é: calcular as derivadas parciais
f_x(x,y)=\frac{\partial}{\partial x}\ln\left(x^{2}-y\right)=\frac{2x}{x^{2}-y}, \qquad f_y(x,y)=\frac{\partial}{\partial y}\ln\left(x^{2}-y\right)=-\frac{1}{x^{2}-y},
e usar a fórmula do plano tangente
z=f(a,b)+f_x(a,b)\,(x-a)+f_y(a,b)\,(y-b),
válida somente quando a^{2}-b>0. Mas aqui não podemos aplicar porque (-1,4) não satisfaz a^{2}-b>0.

Resposta

Não existe plano tangente real à superfície z=\ln\left(x^{2}-y\right) no ponto (-1,4,2), pois (-1)^{2}-4=-3\le 0 e \ln(-3) não está definido nos reais.

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