Seja f(x, y)\left\{\begin{array}{c}\frac{5 x y^{2}}{x^{2}+y^{2}} \operatorname{se}(x, y) \neq(0,0) \\\\ 0 \operatorname{se}(x, y)=(0,0)\end{array}\right.
Calcular a diferencial total da segunda ordem da funções f(x, y)

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x,y)=\begin{cases} \displaystyle \frac{5x y^{2}}{x^{2}+y^{2}}, & (x,y)\neq(0,0),\\[6pt] 0, & (x,y)=(0,0), \end{cases}
e pede a diferencial total de segunda ordem da função f(x,y).
Informações relevantes que temos: a expressão explícita de f para (x,y)\neq(0,0) e o valor em (0,0). O enunciado não diz explicitamente em que ponto quer a diferencial de segunda ordem, então vamos:
  • obter a fórmula geral da diferencial de segunda ordem para pontos (x,y)\neq(0,0);
  • checar o comportamento em (0,0) e decidir se existe diferencial de segunda ordem aí.
    Não começo a calcular ainda; só listei o que é pedido e os dados que temos.]

Passo 2

O que é a diferencial total de segunda ordem? Vou explicar com calma. Suponha que f seja C^{2} num ponto (ou seja, tenha derivadas parciais de segunda ordem contínuas ali). Então a diferencial total de segunda ordem d^{2}f é a forma quadrática dada por
d^{2}f = f_{xx}\,(dx)^{2} + 2f_{xy}\,dx\,dy + f_{yy}\,(dy)^{2},
onde f_{xx},f_{xy},f_{yy} são as derivadas parciais de segunda ordem avaliadas no ponto considerado, e dx,dy são incrementos. Essa expressão é o termo quadrático da expansão de Taylor de ordem 2. Aqui cada símbolo significa:
  • f_{xx}=\dfrac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}},
  • f_{xy}=\dfrac{\partial^{2} f}{\partial x\partial y},
  • f_{yy}=\dfrac{\partial^{2} f}{\partial y^{2}}.
    Portanto nosso caminho: calcular f_x e f_y para (x,y)\neq(0,0), depois f_{xx},f_{xy},f_{yy}, e então montar d^{2}f. Também verifico o caso (0,0).

Passo 3

Calcular as derivadas parciais de primeira ordem para (x,y)\neq(0,0). Defina D=x^{2}+y^{2}. Para facilitar, escrevo
f(x,y)=5\,\frac{x\,y^{2}}{D}.
Usando a regra do quociente / produto:
Cálculo de f_x:
f_x = 5\,y^{2}\,\frac{\partial}{\partial x}\!\left(\frac{x}{D}\right).
Agora \dfrac{\partial}{\partial x}\!\left(\frac{x}{D}\right)=\dfrac{D-2x^{2}}{D^{2}} (vai direto da regra do quociente: (1\cdot D - x\cdot 2x)/D^{2}). Logo
f_x = 5\,y^{2}\,\frac{y^{2}-x^{2}}{D^{2}}.
Cálculo de f_y:
Use a fórmula do quociente direto com N=5x y^{2}, N_y=10 x y e D_y=2y:
f_y=\frac{N_y D - N D_y}{D^{2}}=\frac{10x y\,D - 5x y^{2}\cdot 2y}{D^{2}}=\frac{10x^{3}y}{D^{2}}.
Resumo:
f_x = 5\,\frac{y^{2}(y^{2}-x^{2})}{D^{2}},\qquad f_y = 10\,\frac{x^{3}y}{D^{2}}\qquad\text{para }(x,y)\neq(0,0).

Passo 4

Agora calculo as derivadas de segunda ordem, diferenciando f_x e f_y (aqui x,y são variáveis; D=x^{2}+y^{2}).
Primeiro f_{xx}=\dfrac{\partial}{\partial x}f_x. Escrevi f_x=5y^{2}\dfrac{y^{2}-x^{2}}{D^{2}}. Diferenciando em x (tratando y como constante) e aplicando a regra do quociente obtém-se, após simplificação:
f_{xx} = -10\,\frac{x\,y^{2}\bigl(3y^{2}-x^{2}\bigr)}{D^{3}}.
(Se quiser verificar: derivada de (y^{2}-x^{2})/D^{2} em relação a x -2x\,(D+2(y^{2}-x^{2}))/D^{3}, multiplicando por 5y^{2} conduz à expressão acima.)
Em seguida f_{xy}=\dfrac{\partial}{\partial y}f_x. Diferenciando f_x em y e simplificando obtemos
f_{xy} = 10\,\frac{x^{2}y\bigl(3y^{2}-x^{2}\bigr)}{D^{3}}.
Finalmente f_{yy}=\dfrac{\partial}{\partial y}f_y. Como f_y=10x^{3}y/D^{2}, diferenciando em y
f_{yy} = 10\,\frac{x^{3}\bigl(x^{2}-3y^{2}\bigr)}{D^{3}}.
Portanto, para (x,y)\neq(0,0) temos as segundas derivadas listadas acima.

Passo 5

Agora monto a diferencial total de segunda ordem usando a fórmula
d^{2}f = f_{xx}\,(dx)^{2} + 2f_{xy}\,dx\,dy + f_{yy}\,(dy)^{2}.
Substituindo as expressões encontradas para (x,y)\neq(0,0):
d^{2}f = -10\,\frac{x\,y^{2}\bigl(3y^{2}-x^{2}\bigr)}{D^{3}}\,(dx)^{2} + 2\cdot 10\,\frac{x^{2}y\bigl(3y^{2}-x^{2}\bigr)}{D^{3}}\,dx\,dy + 10\,\frac{x^{3}\bigl(x^{2}-3y^{2}\bigr)}{D^{3}}\,(dy)^{2},
onde D=x^{2}+y^{2}. Podemos factorar 10(3y^{2}-x^{2})/D^{3} em duas das componentes, mas a forma acima já está explícita e correta.

Passo 6

Agora verifico o ponto (0,0). Para existir d^{2}f num ponto é necessário, primeiro, que f seja diferenciável nesse ponto (pois a diferencial de primeira ordem é ingrediente da segunda). Vou checar a diferenciabilidade em (0,0).
Em coordenadas polares x=r\cos\theta, y=r\sin\theta e para (x,y)\neq(0,0) temos
f(x,y)=5\,\frac{x y^{2}}{x^{2}+y^{2}} = 5\,\frac{r^{3}\cos\theta\sin^{2}\theta}{r^{2}} = 5r\cos\theta\sin^{2}\theta.
Assim \dfrac{f(x,y)}{r}=5\cos\theta\sin^{2}\theta, que depende de \theta e não tende a 0 quando r\to 0 (por exemplo em \theta=\pi/4 é não nulo). Para ser diferenciável em (0,0) com diferencial linear zero precisaríamos que f(x,y)=o(r), isto é f(x,y)/r\to 0. Isso não acontece. Logo f não é diferenciável em (0,0); em particular não existe diferencial linear total em (0,0) e, portanto, não existe diferencial de segunda ordem em (0,0).

Resposta

\text{Para }(x,y)\neq(0,0):\qquad d^{2}f = -10\,\frac{x\,y^{2}\bigl(3y^{2}-x^{2}\bigr)}{(x^{2}+y^{2})^{3}}\,(dx)^{2} + 20\,\frac{x^{2}y\bigl(3y^{2}-x^{2}\bigr)}{(x^{2}+y^{2})^{3}}\,dx\,dy + 10\,\frac{x^{3}\bigl(x^{2}-3y^{2}\bigr)}{(x^{2}+y^{2})^{3}}\,(dy)^{2}.
\text{Em }(0,0):\qquad \text{o diferencial de segunda ordem não existe (a função não é diferenciável em }(0,0)\text{).}ãçããéá

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