Seja f(x, y)\left\{\begin{array}{c}\frac{5 x y^{2}}{x^{2}+y^{2}} \operatorname{se}(x, y) \neq(0,0) \\\\ 0 \operatorname{se}(x, y)=(0,0)\end{array}\right.
Calcular a diferencial total da segunda ordem da funções f(x, y)
e pede a diferencial total de segunda ordem da função f(x,y).
Informações relevantes que temos: a expressão explícita de f para (x,y)\neq(0,0) e o valor em (0,0). O enunciado não diz explicitamente em que ponto quer a diferencial de segunda ordem, então vamos:
obter a fórmula geral da diferencial de segunda ordem para pontos (x,y)\neq(0,0);
checar o comportamento em (0,0) e decidir se existe diferencial de segunda ordem aí.
Não começo a calcular ainda; só listei o que é pedido e os dados que temos.]
Passo 2
O que é a diferencial total de segunda ordem? Vou explicar com calma. Suponha que f seja C^{2} num ponto (ou seja, tenha derivadas parciais de segunda ordem contínuas ali). Então a diferencial total de segunda ordem d^{2}f é a forma quadrática dada por
onde f_{xx},f_{xy},f_{yy} são as derivadas parciais de segunda ordem avaliadas no ponto considerado, e dx,dy são incrementos. Essa expressão é o termo quadrático da expansão de Taylor de ordem 2. Aqui cada símbolo significa:
f_{yy}=\dfrac{\partial^{2} f}{\partial y^{2}}.
Portanto nosso caminho: calcular f_x e f_y para (x,y)\neq(0,0), depois f_{xx},f_{xy},f_{yy}, e então montar d^{2}f. Também verifico o caso (0,0).
Passo 3
Calcular as derivadas parciais de primeira ordem para (x,y)\neq(0,0). Defina D=x^{2}+y^{2}. Para facilitar, escrevo
Agora \dfrac{\partial}{\partial x}\!\left(\frac{x}{D}\right)=\dfrac{D-2x^{2}}{D^{2}} (vai direto da regra do quociente: (1\cdot D - x\cdot 2x)/D^{2}). Logo
f_x = 5\,y^{2}\,\frac{y^{2}-x^{2}}{D^{2}}.
Cálculo de f_y:
Use a fórmula do quociente direto com N=5x y^{2}, N_y=10 x y e D_y=2y:
f_y=\frac{N_y D - N D_y}{D^{2}}=\frac{10x y\,D - 5x y^{2}\cdot 2y}{D^{2}}=\frac{10x^{3}y}{D^{2}}.
Agora calculo as derivadas de segunda ordem, diferenciando f_x e f_y (aqui x,y são variáveis; D=x^{2}+y^{2}).
Primeiro f_{xx}=\dfrac{\partial}{\partial x}f_x. Escrevi f_x=5y^{2}\dfrac{y^{2}-x^{2}}{D^{2}}. Diferenciando em x (tratando y como constante) e aplicando a regra do quociente obtém-se, após simplificação:
(Se quiser verificar: derivada de (y^{2}-x^{2})/D^{2} em relação a x dá -2x\,(D+2(y^{2}-x^{2}))/D^{3}, multiplicando por 5y^{2} conduz à expressão acima.)
Em seguida f_{xy}=\dfrac{\partial}{\partial y}f_x. Diferenciando f_x em y e simplificando obtemos
onde D=x^{2}+y^{2}. Podemos factorar 10(3y^{2}-x^{2})/D^{3} em duas das componentes, mas a forma acima já está explícita e correta.
Passo 6
Agora verifico o ponto (0,0). Para existir d^{2}f num ponto é necessário, primeiro, que f seja diferenciável nesse ponto (pois a diferencial de primeira ordem é ingrediente da segunda). Vou checar a diferenciabilidade em (0,0).
Em coordenadas polares x=r\cos\theta, y=r\sin\theta e para (x,y)\neq(0,0) temos
Assim \dfrac{f(x,y)}{r}=5\cos\theta\sin^{2}\theta, que depende de \theta e não tende a 0 quando r\to 0 (por exemplo em \theta=\pi/4 é não nulo). Para ser diferenciável em (0,0) com diferencial linear zero precisaríamos que f(x,y)=o(r), isto é f(x,y)/r\to 0. Isso não acontece. Logo f não é diferenciável em (0,0); em particular não existe diferencial linear total em (0,0) e, portanto, não existe diferencial de segunda ordem em (0,0).