Encontre a derivada direcional em P dos campos vetoriais dados, na direção do vetor v=2 i-j+k.
F(x, y, z)=e^{x+y} i+e^{x-y} j+2 k, P=(1,1,0).

Passo 1

O enunciado pede a derivada direcional em P do campo vetorial F na direção do vetor v. Dados fornecidos:
  • O campo vetorial é F(x,y,z)=e^{x+y}\,i + e^{x-y}\,j + 2\,k.
  • O ponto é P=(1,1,0).
  • O vetor de direção é v=2\,i - j + k (ou seja, v=(2,-1,1)).
As perguntas claras: calcular a derivada direcional de F em P na direção de v e apresentar o resultado como um vetor.

Passo 2

O que é a derivada direcional de um campo vetorial? Vou explicar de forma prática e direta, sem linguagem pesada: para um campo vetorial F=(F_1,F_2,F_3), a derivada direcional em P na direção de um vetor unitário u é o vetor cujas componentes são as derivadas direcionais das componentes escalares:
D_{u}F(P)=\big(D_{u}F_1(P),\,D_{u}F_2(P),\,D_{u}F_3(P)\big).
Cada componente obedece à fórmula
D_{u}F_i(P)=\nabla F_i(P)\cdot u,
onde \nabla F_i é o gradiente da função escalar F_i e \cdot é o produto escalar. Outra forma equivalente, compacta, é aplicar a matriz jacobiana JF(P) ao vetor u:
D_{u}F(P)=JF(P)\,u.
Observação importante (método padrão): a "direção do vetor v" costuma significar usar o vetor unitário u que indica essa direção, ou seja u=v/\|v\|. Vou usar essa convenção (se o professor quisesse multiplicar por v sem normalizar, seria só um fator escalar a mais — eu explico isso se você quiser depois). Agora vamos calcular tudo passo a passo.

Passo 3

Normalizar v. Primeiro calcule o comprimento (norma) de v=(2,-1,1):
\|v\|=\sqrt{2^2+(-1)^2+1^2}=\sqrt{4+1+1}=\sqrt{6}.
Logo o vetor unitário na direção de v é
u=\frac{v}{\|v\|}=\frac{1}{\sqrt{6}}\,(2,-1,1).
Escrevendo as componentes:
u=\left(\frac{2}{\sqrt{6}},-\frac{1}{\sqrt{6}},\frac{1}{\sqrt{6}}\right).

Passo 4

Calcular as derivadas parciais (os gradientes das componentes) de F. Escrevemos as componentes:
F_1(x,y,z)=e^{x+y},\qquad F_2(x,y,z)=e^{x-y},\qquad F_3(x,y,z)=2.
Agora as parciais:
  • Para F_1,
\frac{\partial F_1}{\partial x}=e^{x+y},\qquad \frac{\partial F_1}{\partial y}=e^{x+y},\qquad \frac{\partial F_1}{\partial z}=0.
  • Para F_2,
\frac{\partial F_2}{\partial x}=e^{x-y},\qquad \frac{\partial F_2}{\partial y}=-e^{x-y},\qquad \frac{\partial F_2}{\partial z}=0.
  • Para F_3,
\frac{\partial F_3}{\partial x}=0,\qquad \frac{\partial F_3}{\partial y}=0,\qquad \frac{\partial F_3}{\partial z}=0,
pois F_3 é constante.

Passo 5

Avaliar as derivadas parciais no ponto P=(1,1,0). Calcule os valores exponenciais:
e^{x+y}\Big|_{P}=e^{1+1}=e^{2},\qquad e^{x-y}\Big|_{P}=e^{1-1}=e^{0}=1.
Então a matriz jacobiana JF(P) (linha i com as parciais de F_i) é
JF(P)=\begin{pmatrix} e^{2} & e^{2} & 0\\[4pt] 1 & -1 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}.]

Passo 6

Aplicar JF(P) ao vetor unitário u. Lembre que multiplicar a matriz pela coluna u dá exatamente as componentes D_{u}F_i(P)=\nabla F_i(P)\cdot u. Escrevendo u como coluna:
u=\begin{pmatrix}\frac{2}{\sqrt{6}}\\[4pt]-\frac{1}{\sqrt{6}}\\[4pt]\frac{1}{\sqrt{6}}\end{pmatrix}.
Agora multiplicamos:
D_{u}F(P)=JF(P)\,u = \begin{pmatrix} e^{2} & e^{2} & 0\\[4pt] 1 & -1 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}\frac{2}{\sqrt{6}}\\[4pt]-\frac{1}{\sqrt{6}}\\[4pt]\frac{1}{\sqrt{6}}\end{pmatrix}.]

Passo 7

Fazer a multiplicação componente a componente (mostrando cada conta):
  • Primeira componente:
\big(D_{u}F(P)\big)_1 = e^{2}\cdot\frac{2}{\sqrt{6}} + e^{2}\cdot\Big(-\frac{1}{\sqrt{6}}\Big) + 0\cdot\frac{1}{\sqrt{6}} = e^{2}\cdot\frac{2-1}{\sqrt{6}} = \frac{e^{2}}{\sqrt{6}}.
  • Segunda componente:
\big(D_{u}F(P)\big)_2 = 1\cdot\frac{2}{\sqrt{6}} + (-1)\cdot\Big(-\frac{1}{\sqrt{6}}\Big) + 0\cdot\frac{1}{\sqrt{6}} = \frac{2}{\sqrt{6}} + \frac{1}{\sqrt{6}} = \frac{3}{\sqrt{6}}.
Podemos simplificar \dfrac{3}{\sqrt{6}}. Multiplicando num. e denom. por \sqrt{6}:
\frac{3}{\sqrt{6}}=\frac{3\sqrt{6}}{6}=\frac{\sqrt{6}}{2}.
  • Terceira componente:
\big(D_{u}F(P)\big)_3 = 0\cdot\frac{2}{\sqrt{6}} + 0\cdot\Big(-\frac{1}{\sqrt{6}}\Big) + 0\cdot\frac{1}{\sqrt{6}} = 0.
Portanto o vetor resultante é
D_{u}F(P)=\left(\frac{e^{2}}{\sqrt{6}},\,\frac{3}{\sqrt{6}},\,0\right)
ou, na forma levemente simplificada para a segunda componente,
D_{u}F(P)=\left(\frac{e^{2}}{\sqrt{6}},\,\frac{\sqrt{6}}{2},\,0\right).

Passo 8

Resumo prático (como lembrar para a prova): 1) normalize o vetor de direção; 2) calcule as parciais das componentes de F; 3) forme a jacobiana e multiplique por u (ou faça \nabla F_i(P)\cdot u para cada componente). Se você esquecesse de normalizar, simplesmente obteria um vetor igual ao que achamos multiplicado por \|v\| — por isso é crucial saber qual convenção o seu professor usa. Você mandou o enunciado como “direção do vetor v”, então escolhi a convenção padrão (usar o vetor unitário). Força aí — você já conseguiu o passo a passo completo!

Resposta

\displaystyle \left(\frac{e^{2}}{\sqrt{6}},\,\frac{3}{\sqrt{6}},\,0\right)

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