Encontre a derivada direcional em P dos campos vetoriais dados, na direção do vetor v=2 i-j+k. F(x, y, z)=e^{x+y} i+e^{x-y} j+2 k, P=(1,1,0).
Passo 1
O enunciado pede a derivada direcional em P do campo vetorial F na direção do vetor v. Dados fornecidos:
O campo vetorial é F(x,y,z)=e^{x+y}\,i + e^{x-y}\,j + 2\,k.
O ponto é P=(1,1,0).
O vetor de direção é v=2\,i - j + k (ou seja, v=(2,-1,1)).
As perguntas claras: calcular a derivada direcional de F em P na direção de v e apresentar o resultado como um vetor.
Passo 2
O que é a derivada direcional de um campo vetorial? Vou explicar de forma prática e direta, sem linguagem pesada: para um campo vetorial F=(F_1,F_2,F_3), a derivada direcional em P na direção de um vetor unitário u é o vetor cujas componentes são as derivadas direcionais das componentes escalares:
onde \nabla F_i é o gradiente da função escalar F_i e \cdot é o produto escalar. Outra forma equivalente, compacta, é aplicar a matriz jacobiana JF(P) ao vetor u:
D_{u}F(P)=JF(P)\,u.
Observação importante (método padrão): a "direção do vetor v" costuma significar usar o vetor unitário u que indica essa direção, ou seja u=v/\|v\|. Vou usar essa convenção (se o professor quisesse multiplicar por v sem normalizar, seria só um fator escalar a mais — eu explico isso se você quiser depois). Agora vamos calcular tudo passo a passo.
Passo 3
Normalizar v. Primeiro calcule o comprimento (norma) de v=(2,-1,1):
Aplicar JF(P) ao vetor unitário u. Lembre que multiplicar a matriz pela coluna u dá exatamente as componentes D_{u}F_i(P)=\nabla F_i(P)\cdot u. Escrevendo u como coluna:
Resumo prático (como lembrar para a prova): 1) normalize o vetor de direção; 2) calcule as parciais das componentes de F; 3) forme a jacobiana e multiplique por u (ou faça \nabla F_i(P)\cdot u para cada componente). Se você esquecesse de normalizar, simplesmente obteria um vetor igual ao que achamos multiplicado por \|v\| — por isso é crucial saber qual convenção o seu professor usa. Você mandou o enunciado como “direção do vetor v”, então escolhi a convenção padrão (usar o vetor unitário). Força aí — você já conseguiu o passo a passo completo!