Verifique se os seguintes campos vetoriais são conservativos. Em caso afirmativo, encontre sua função potencial.
F(x, y)=e^{x} \cos (y) i+e^{x} \operatorname{sen}(y) j.

Passo 1

O enunciado pede para verificar se o campo vetorial
F(x,y)=e^{x}\cos(y)\,\mathbf{i}+e^{x}\sin(y)\,\mathbf{j}
é conservativo. Se for conservativo, devemos também encontrar sua função potencial.
Informações dadas: a componente P(x,y) do campo é \,P(x,y)=e^{x}\cos(y)\, e a componente Q(x,y) é \,Q(x,y)=e^{x}\sin(y)\,.

Passo 2

Teoria necessária (explicada com calma): em \mathbb{R}^{2}, um campo vetorial \,F(x,y)=P(x,y)\,\mathbf{i}+Q(x,y)\,\mathbf{j}\, definido num domínio aberto e simplesmente conexo é conservativo (ou seja, existe uma função potencial \varphi(x,y) com \nabla\varphi=F) se, e somente se, as derivadas parciais cruzadas forem iguais:
\frac{\partial P}{\partial y} = \frac{\partial Q}{\partial x}.
O que isso significa na prática:
  • \frac{\partial P}{\partial y} é a derivada parcial de P em relação a y, ou seja, tratamos x como constante e derivamos em relação a y.
  • \frac{\partial Q}{\partial x} é análogo, derivando Q em relação a x.
    Se essas duas derivadas coincidem em todo o domínio (que deve ser simplesmente conexo), então existe uma \varphi tal que \phi_x=P e \phi_y=Q. Se não coincidem, não existe função potencial global.

Passo 3

Verificação do domínio: as funções e^{x}, \cos(y) e \sin(y) estão definidas para todo (x,y)\in\mathbb{R}^{2}. Logo o domínio do campo é \mathbb{R}^{2}, que é aberto e simplesmente conexo. Portanto podemos aplicar o critério das derivadas cruzadas de forma válida em todo o plano.

Passo 4

Calcular as derivadas parciais cruzadas explicitamente:
P(x,y)=e^{x}\cos(y)\quad\Rightarrow\quad \frac{\partial P}{\partial y}(x,y)=e^{x}\cdot\frac{d}{dy}\big(\cos(y)\big)=e^{x}\cdot(-\sin(y))=-e^{x}\sin(y).
Q(x,y)=e^{x}\sin(y)\quad\Rightarrow\quad \frac{\partial Q}{\partial x}(x,y)=\frac{d}{dx}\big(e^{x}\big)\cdot\sin(y)=e^{x}\sin(y).
Compare as duas:
\frac{\partial P}{\partial y}(x,y)=-e^{x}\sin(y),\qquad \frac{\partial Q}{\partial x}(x,y)=e^{x}\sin(y).
Elas não são iguais em geral — na verdade são opostas: \frac{\partial P}{\partial y}=-\frac{\partial Q}{\partial x}. Só se fossem iguais para todos os (x,y) o campo seria conservativo.

Passo 5

Interpretação e tentativa direta (mostrando por contradição): como as derivadas cruzadas não coincidem, não existe função potencial global. Para ver isso também de outro jeito, tentemos construir uma potencial e encontraremos contradição. Se existisse \varphi com \phi_x=P, então
\varphi(x,y)=\int P(x,y)\,dx=\int e^{x}\cos(y)\,dx=e^{x}\cos(y)+h(y),
onde h(y) é uma “constante” de integração que pode depender de y. Agora derivamos essa \varphi em relação a y:
\phi_y(x,y)=-e^{x}\sin(y)+h'(y).
Mas queremos que \phi_y=Q=e^{x}\sin(y). Igualando,
-e^{x}\sin(y)+h'(y)=e^{x}\sin(y)\quad\Rightarrow\quad h'(y)=2e^{x}\sin(y).
O lado direito depende de x, enquanto h'(y) deve depender somente de y. Essa dependência impossível em x mostra a contradição — portanto não existe \varphi que satisfaça \phi_x=P e \phi_y=Q simultaneamente em todo o plano.

Passo 6

Conclusão final e observação prática: como \frac{\partial P}{\partial y}\neq\frac{\partial Q}{\partial x} em geral, o campo não é conservativo no domínio considerado ( \mathbb{R}^{2}). Uma observação útil para a prova: se o sinal da componente j fosse negativo, isto é, se tivéssemos F(x,y)=e^{x}\cos(y)\,\mathbf{i}-e^{x}\sin(y)\,\mathbf{j}, então as derivadas cruzadas dariam -e^{x}\sin(y) em ambos os lados e o campo seria conservativo, com potencial \varphi(x,y)=e^{x}\cos(y)+C.

Resposta

O campo não é conservativo.

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