Verifique se os seguintes campos vetoriais são conservativos. Em caso afirmativo, encontre sua função potencial.
.
Passo 1
O enunciado pede para verificar se o campo vetorial
é conservativo. Se for conservativo, devemos também encontrar sua função potencial.
Informações dadas: a componente do campo é
e a componente
é
.
Informações dadas: a componente
Passo 2
Teoria necessária (explicada com calma): em
, um campo vetorial
definido num domínio aberto e simplesmente conexo é conservativo (ou seja, existe uma função potencial
com
) se, e somente se, as derivadas parciais cruzadas forem iguais:
O que isso significa na prática:
-
é a derivada parcial de em relação a , ou seja, tratamos como constante e derivamos em relação a . -
é análogo, derivando em relação a .
Se essas duas derivadas coincidem em todo o domínio (que deve ser simplesmente conexo), então existe umatal que e . Se não coincidem, não existe função potencial global.
Passo 3
Verificação do domínio: as funções
,
e
estão definidas para todo
. Logo o domínio do campo é
, que é aberto e simplesmente conexo. Portanto podemos aplicar o critério das derivadas cruzadas de forma válida em todo o plano.
Passo 4
Calcular as derivadas parciais cruzadas explicitamente:
Compare as duas:
Elas não são iguais em geral — na verdade são opostas:
. Só se fossem iguais para todos os
o campo seria conservativo.
Passo 5
Interpretação e tentativa direta (mostrando por contradição): como as derivadas cruzadas não coincidem, não existe função potencial global. Para ver isso também de outro jeito, tentemos construir uma potencial e encontraremos contradição. Se existisse
com
, então
onde
é uma “constante” de integração que pode depender de
. Agora derivamos essa
em relação a
:
Mas queremos que
. Igualando,
O lado direito depende de
, enquanto
deve depender somente de
. Essa dependência impossível em
mostra a contradição — portanto não existe
que satisfaça
e
simultaneamente em todo o plano.
Passo 6
Conclusão final e observação prática: como
em geral, o campo não é conservativo no domínio considerado (
). Uma observação útil para a prova: se o sinal da componente
fosse negativo, isto é, se tivéssemos
, então as derivadas cruzadas dariam
em ambos os lados e o campo seria conservativo, com potencial
.
Resposta
O campo não é conservativo.