Encontre a derivada direcional no ponto P0 na direção do vetor u, onde
f(x, y)=e^x cos (y)+e^y sen(x), P0=(1,0), u=(-2,1).

Passo 1

O enunciado pede a derivada direcional de
f(x,y)=e^xcos(y)+e^ysin(x)
no ponto P0=(1,0) na direção do vetor u=(-2,1).
O conteúdo necessário é: (i) calcular o gradiente de f; (ii) normalizar u para obter o vetor unitário; (iii) fazer o produto escalar do gradiente em P0 com esse vetor unitário.

Passo 2

Calculamos as componentes do gradiente:
partial fpartial x(x,y) = e^xcos(y) + e^ycos(x),
partial fpartial y(x,y) = -,e^xsin(y) + e^ysin(x)

Passo 3

Avaliamo-las em P0=(1,0):
partial fpartial x(1,0) = e^1cos(0) + e^0cos(1) = e + cos(1),
partial fpartial y(1,0) = -,e^1sin(0) + e^0sin(1) = sin(1)
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nabla f(1,0) = l(e + cos(1),;sin(1)r)

Passo 4

O vetor direção u=(-2,1) tem norma
|u| = raiz(-2)^2 + 1^2 = raiz5
O vetor unitário é
u = 1raiz5(-2,1)

Passo 5

A derivada direcional é o produto escalar
Duf(1,0) = nabla f(1,0)cdot u = l(e + cos(1),,sin(1)r)cdot (-2,1)raiz5 = -2l(e+cos(1)r) + sin(1)raiz5

Resposta

Duf(1,0) = -2l(e + cos(1)r) + sin(1)raiz5

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