Faça o que se pede em cada um dos itens a seguir:
II. Resolva, em R, a inequação:
3 x+41-x <= 2

Passo 1

O enunciado pede para resolver, em R, a inequação racional
3x+41-x<= 2
Esse tipo de problema exige cuidar do domínio (denominador não nulo) e depois usar análise de sinal de uma fração.

Passo 2

Primeiro vemos que o denominador não pode anular-se, ou seja
1-xneq 0Longrightarrow xneq 1
Em seguida trazemos o 2 para o lado esquerdo:
3x+41-x-2<= 0

Passo 3

Colocando tudo sobre o mesmo denominador (1-x) obtemos
3x+4-2(1-x)1-x<= 0
No numerador, 3x+4-2+2x=5x+2. Logo ficamos com
5x+21-x<= 0

Passo 4

Identificamos os pontos críticos onde numerador ou denominador se anulam.
O numerador 5x+2=0 em x=-tfrac25.
O denominador 1-x=0 em x=1, que sai do domínio.

Passo 5

Para ver onde 5x+21-x<=0, analisamos cada região:
Se x<-tfrac25, então 5x+2<0 e 1-x>0, de modo que a fração é negativa e satisfaz a inequação.
Se -tfrac25<x<1, então 5x+2>0 e 1-x>0, a fração é positiva e não satisfaz.
Se x>1, então 5x+2>0 e 1-x<0, a fração é negativa e satisfaz.
No ponto x=-tfrac25 a fração vale zero, que cabe em “ <=”. Em x=1 ela é indefinida e deve ser excluída.

Resposta

A solução da inequação é
(-infty,,-tfrac25] ;cup;(1,,+infty)

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