Faça o que se pede em cada um dos itens a seguir:
I. Escreva os polinômios abaixo de forma fatorada:
a)
b)
I. Escreva os polinômios abaixo de forma fatorada:
a)
b)
Passo 1
Resumo do enunciado: a gente tem dois polinômios de 3º grau e precisa escrever cada um na forma fatorada
a)
b)
Matéria envolvida: fatoração de polinômios.
O que vamos usar:
a)
b)
Matéria envolvida: fatoração de polinômios.
O que vamos usar:
- Teorema da raiz racional (ou do resto) para achar raízes inteiras ou fracionárias: se
, então é fator. - Divisão sintética para “cortar” o polinômio por
. - Fatoração de 2º grau via fórmula de Bhaskara (
) ou diferença de quadrados.
Passo 2
Item (a):
- Listamos as possíveis raízes racionais de
. Pelo teorema, numerador , denominador . A gente testa primeiro inteiros:
-
-
-
→ encontrou raiz . Logo é fator de .
Passo 3
Ainda em (a):
2) Divisão sintética de por
:
Coeficientes: 9 -36 29 -6
“Baixa” 9 → multiplica por 3 → soma dá -9 → multiplica por 3 → soma dá 2 → multiplica por 3 → soma dá 0.
Resto zero confirma o fator. O quociente é , então
2) Divisão sintética de
Coeficientes: 9 -36 29 -6
“Baixa” 9 → multiplica por 3 → soma dá -9 → multiplica por 3 → soma dá 2 → multiplica por 3 → soma dá 0.
Resto zero confirma o fator. O quociente é
- Agora fatora o quadrático
. - Calcula
. - Raízes:
, ou seja e .
Então
- Calcula
Para simplificar, note que
logo
.
Concluindo para (a):
Concluindo para (a):
Passo 4
Item (b):
.
-
Testa raízes racionais
:
→ raiz .
Logoé fator. -
Divisão sintética por
:
Coeficientes: 1 -2 -3 6
“Baixa” 1 → multiplica por 2 → soma dá 0 → multiplica por 2 → soma dá -3 → multiplica por 2 → soma dá 0.
Quociente:.
Assim
Passo 5
Fatora o quadrático de (b):
é uma diferença de quadrados se a gente escrever
.
Pelo padrão com
e
, fica
Pelo padrão
Então, no fim:
Resposta
a)
b)
b)