Faça o que se pede em cada um dos itens a seguir:
I. Escreva os polinômios abaixo de forma fatorada:
a) P(x)=9 x^3-36 x^2+29 x-6
b) P(x)=x^3-2 x^2-3 x+6

Passo 1

Resumo do enunciado: a gente tem dois polinômios de 3º grau e precisa escrever cada um na forma fatorada
a) P(x)=9x^3-36x^2+29x-6
b) P(x)=x^3-2x^2-3x+6
Matéria envolvida: fatoração de polinômios.
O que vamos usar:
  • Teorema da raiz racional (ou do resto) para achar raízes inteiras ou fracionárias: se P(r)=0, então (x-r) é fator.
  • Divisão sintética para “cortar” o polinômio por (x-r).
  • Fatoração de 2º grau via fórmula de Bhaskara ( De<a=b^2-4ac) ou diferença de quadrados.

Passo 2

Item (a):
  1. Listamos as possíveis raízes racionais de 9x^3-36x^2+29x-6. Pelo teorema, numerador pm1,2,3,6, denominador pm1,3,9. A gente testa primeiro inteiros:
  • P(1)=9-36+29-6=-4neq0
  • P(2)=72-144+58-6=-20neq0
  • P(3)=243-324+87-6=0 → encontrou raiz x=3. Logo (x-3) é fator de P(x).

Passo 3

Ainda em (a):
2) Divisão sintética de P(x) por (x-3):
Coeficientes: 9  -36  29  -6
“Baixa” 9 → multiplica por 3 → soma dá -9 → multiplica por 3 → soma dá 2 → multiplica por 3 → soma dá 0.
Resto zero confirma o fator. O quociente é 9x^2-9x+2, então
P(x)=(x-3)(9x^2-9x+2)
  1. Agora fatora o quadrático 9x^2-9x+2.
    • Calcula De<a=b^2-4ac=(-9)^2-4cdot9cdot2=81-72=9.
    • Raízes: x=9pmraiz92cdot9=9pm318, ou seja x=tfrac23 e x=tfrac13.
      Então
9x^2-9x+2=9,(x-tfrac23)(x-tfrac13)
Para simplificar, note que
(x-tfrac23)=3x-23,(x-tfrac13)=3x-13,
logo 9cdot3x-23cdot3x-13=(3x-2)(3x-1).
Concluindo para (a):
P(x)=(x-3)(3x-2)(3x-1)

Passo 4

Item (b): Q(x)=x^3-2x^2-3x+6.
  1. Testa raízes racionais pm1,pm2,pm3,pm6:
    Q(2)=8-8-6+6=0 → raiz x=2.
    Logo (x-2) é fator.
  2. Divisão sintética por (x-2):
    Coeficientes: 1  -2  -3  6
    “Baixa” 1 → multiplica por 2 → soma dá 0 → multiplica por 2 → soma dá -3 → multiplica por 2 → soma dá 0.
    Quociente: x^2+0x-3=x^2-3.
    Assim
Q(x)=(x-2)(x^2-3)

Passo 5

Fatora o quadrático de (b):
x^2-3 é uma diferença de quadrados se a gente escrever 3=(raiz3)^2.
Pelo padrão a^2-b^2=(a-b)(a+b) com a=x e b=raiz3, fica
x^2-3=(x-raiz3)(x+raiz3)
Então, no fim:
Q(x)=(x-2)(x-raiz3)(x+raiz3)

Resposta

a) ,P(x)=(x-3)(3x-2)(3x-1)
b) ,P(x)=(x-2)(x-raiz3)(x+raiz3)

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