Encontre a derivada direcional no ponto P e na direção do vetor \vec{v} indicada.
(c) f(x, y)=x^{2}+3 y^{2}, P=(1,1), \vec{v}=(1,-1)

Passo 1

O enunciado pede a derivada direcional de f(x,y)=x^2+3y^2 no ponto P=(1,1) na direção do vetor \vec v=(1,-1). Para isso vamos usar a definição
D_{\vec v}f(P)=\nabla f(P)\cdot \mathbf u,
onde \nabla f é o gradiente de f e \mathbf u é o vetor de direção normalizado.

Passo 2

Calculamos o gradiente de f. Como f(x,y)=x^2+3y^2, temos
\nabla f(x,y)=\Bigl(\frac{\partial f}{\partial x},\frac{\partial f}{\partial y}\Bigr) =(2x,\;6y).
No ponto P=(1,1),
\nabla f(1,1)=(2\cdot1,\;6\cdot1)=(2,6).

Passo 3

Normalizamos o vetor \vec v=(1,-1). Primeiro sua norma é
\|\vec v\|=\sqrt{1^2+(-1)^2}=\sqrt{2}.
O vetor unitário na direção de \vec v é
\mathbf u=\frac{\vec v}{\|\vec v\|} =\Bigl(\tfrac{1}{\sqrt2},\;-\tfrac{1}{\sqrt2}\Bigr).

Passo 4

A derivada direcional é o produto escalar de \nabla f(1,1) por \mathbf u:
D_{\vec v}f(1,1) =(2,6)\cdot\Bigl(\tfrac{1}{\sqrt2},-\tfrac{1}{\sqrt2}\Bigr) =2\cdot\tfrac{1}{\sqrt2}+6\cdot\Bigl(-\tfrac{1}{\sqrt2}\Bigr) =\frac{2-6}{\sqrt2} =-\frac{4}{\sqrt2} =-2\sqrt2.

Resposta

A derivada direcional de f em P=(1,1) na direção de \vec v=(1,-1) é -2\sqrt2.

Exercícios relacionados