Sejam f, g funções de duas variáveis a valores reais. Suponha que f e g sejam diferenciáveis e mostre que:
(a) \nabla[f(x)+g(x)]=\nabla f(x)+\nabla g(x)

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, se f,g\colon\mathbb{R}^2\to\mathbb{R} são diferenciáveis, então a operação de gradiente é linear, isto é,
\nabla\bigl(f+g\bigr)(x)=\nabla f(x)+\nabla g(x).
Vamos usar definição de diferenciabilidade e expressão das componentes do gradiente.

Passo 2

Por definição, para uma função diferenciável h\colon\mathbb{R}^2\to\mathbb{R} vale
\nabla h(x) = \bigl(\partial_{1}h(x),\;\partial_{2}h(x)\bigr),
onde
\partial_{i}h(x) = \lim_{t\to0}\frac{h\bigl(x+t\,e_{i}\bigr)-h(x)}{t},
com e_{1}=(1,0) e e_{2}=(0,1).

Passo 3

Para cada i\in\{1,2\}, calculemos
\partial_{i}\bigl(f+g\bigr)(x) = \lim_{t\to0}\frac{(f+g)\bigl(x+t\,e_{i}\bigr)-(f+g)(x)}{t}
\quad = \lim_{t\to0}\frac{f\bigl(x+t\,e_{i}\bigr)-f(x)}{t} \;+\; \lim_{t\to0}\frac{g\bigl(x+t\,e_{i}\bigr)-g(x)}{t} = \partial_{i}f(x)+\partial_{i}g(x).

Passo 4

Agrupando as componentes acima, obtemos
\nabla\bigl(f+g\bigr)(x) = \bigl(\partial_{1}f(x)+\partial_{1}g(x),\;\partial_{2}f(x)+\partial_{2}g(x)\bigr) = \nabla f(x)+\nabla g(x).

Resposta

\nabla\bigl(f+g\bigr)(x)=\nabla f(x)+\nabla g(x)

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