Sejam
funções de duas variáveis a valores reais. Suponha que
e
sejam diferenciáveis e mostre que:
(a)
(a)
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, se
são diferenciáveis, então a operação de gradiente é linear, isto é,
Vamos usar definição de diferenciabilidade e expressão das componentes do gradiente.
Passo 2
Por definição, para uma função diferenciável
vale
onde
com
e
.
Passo 3
Para cada
, calculemos
Passo 4
Agrupando as componentes acima, obtemos