Sejam f, g funções de duas variáveis a valores reais. Suponha que f e g sejam diferenciáveis e mostre que:
(c) \nabla[f(x) g(x)]=g(x) \nabla f(x)+f(x) \nabla g(x)

Passo 1

O enunciado considera duas funções diferenciáveis de \mathbb{R}^2 em \mathbb{R}, digamos
f\colon \mathbb{R}^2\to\mathbb{R}, \quad g\colon \mathbb{R}^2\to\mathbb{R},
e pede para mostrar a regra do produto para o gradiente de h(x)=f(x)\,g(x).
Para isso, vamos usar (1) a definição de gradiente como vetor das derivadas parciais e (2) a regra do produto em uma única variável, aplicada a cada derivada parcial.

Passo 2

Defina
h(x)=f(x)\,g(x),
onde escrevemos x=(x_1,x_2). O gradiente de h é
\nabla h(x) = \Bigl(\frac{\partial h}{\partial x_1}(x),\,\frac{\partial h}{\partial x_2}(x)\Bigr).

Passo 3

Calcule a primeira componente aplicando a regra do produto a \partial h/\partial x_1:
\frac{\partial h}{\partial x_1}(x) = \frac{\partial}{\partial x_1}\bigl(f(x)\,g(x)\bigr) = g(x)\,\frac{\partial f}{\partial x_1}(x) + f(x)\,\frac{\partial g}{\partial x_1}(x).

Passo 4

De modo análogo, para a segunda componente, aplica-se a mesma ideia em \partial/\partial x_2:
\frac{\partial h}{\partial x_2}(x) = g(x)\,\frac{\partial f}{\partial x_2}(x) + f(x)\,\frac{\partial g}{\partial x_2}(x).

Passo 5

Juntando as duas componentes no vetor gradiente, obtemos
\nabla h(x) = \Bigl(g(x)\,\frac{\partial f}{\partial x_1}(x) + f(x)\,\frac{\partial g}{\partial x_1}(x),\; g(x)\,\frac{\partial f}{\partial x_2}(x) + f(x)\,\frac{\partial g}{\partial x_2}(x)\Bigr).
Isto equivale a escrever, de forma vetorial,
\nabla\bigl(f(x)\,g(x)\bigr) = g(x)\,\nabla f(x) + f(x)\,\nabla g(x).

Resposta

\nabla\bigl(f(x)\,g(x)\bigr) = g(x)\,\nabla f(x) + f(x)\,\nabla g(x).

Exercícios relacionados