Sejam
funções de duas variáveis a valores reais. Suponha que
e
sejam diferenciáveis e mostre que:
(c)
(c)
Passo 1
O enunciado considera duas funções diferenciáveis de
em
, digamos
e pede para mostrar a regra do produto para o gradiente de
.
Para isso, vamos usar (1) a definição de gradiente como vetor das derivadas parciais e (2) a regra do produto em uma única variável, aplicada a cada derivada parcial.
Para isso, vamos usar (1) a definição de gradiente como vetor das derivadas parciais e (2) a regra do produto em uma única variável, aplicada a cada derivada parcial.
Passo 2
Defina
onde escrevemos
. O gradiente de
é
Passo 3
Calcule a primeira componente aplicando a regra do produto a
:
Passo 4
De modo análogo, para a segunda componente, aplica-se a mesma ideia em
:
Passo 5
Juntando as duas componentes no vetor gradiente, obtemos
Isto equivale a escrever, de forma vetorial,