Encontre a derivada direcional no ponto P e na direção do vetor \vec{v} indicada.
(f) f(x, y)=\frac{a x+b y}{x+y}, P=(1,1), \vec{v}=(1,-1)

Passo 1

O enunciado pede a derivada direcional de
f(x,y)=\frac{a x + b y}{x+y}
no ponto P=(1,1) na direção do vetor \vec v=(1,-1).
Para isso vamos usar o conceito de derivada direcional via gradiente:
D_{\vec v}f(P)=\nabla f(P)\cdot\frac{\vec v}{\|\vec v\|}.

Passo 2

Calcular as derivadas parciais usando a regra do quociente. Seja
N(x,y)=a x + b y,\quad D(x,y)=x+y,
então
f_x=\frac{N_x\,D - N\,D_x}{D^2} =\frac{a\,(x+y)-(a x+b y)\cdot1}{(x+y)^2} =\frac{(a-b)\,y}{(x+y)^2},
f_y=\frac{N_y\,D - N\,D_y}{D^2} =\frac{b\,(x+y)-(a x+b y)\cdot1}{(x+y)^2} =\frac{(b-a)\,x}{(x+y)^2}.

Passo 3

Avaliar \nabla f em P=(1,1):
f_x(1,1)=\frac{(a-b)\cdot1}{(1+1)^2}=\frac{a-b}{4}, \qquad f_y(1,1)=\frac{(b-a)\cdot1}{4}=-\frac{a-b}{4}.
Logo
\nabla f(1,1)=\Bigl(\tfrac{a-b}{4},\,-\tfrac{a-b}{4}\Bigr).

Passo 4

Normalizar o vetor direção \vec v=(1,-1):
\|\vec v\|=\sqrt{1^2+(-1)^2}=\sqrt{2}, \qquad \mathbf u=\frac{\vec v}{\|\vec v\|}=\Bigl(\tfrac{1}{\sqrt2},-\tfrac{1}{\sqrt2}\Bigr).

Passo 5

Calcular a derivada direcional:
D_{\vec v}f(1,1) =\nabla f(1,1)\cdot\mathbf u =\frac{a-b}{4}\cdot\frac{1}{\sqrt2} + \Bigl(-\frac{a-b}{4}\Bigr)\cdot\Bigl(-\frac{1}{\sqrt2}\Bigr) =\frac{a-b}{2\sqrt2}.

Resposta

D_{\vec v}f(1,1)=\frac{a-b}{2\sqrt2}.

Exercícios relacionados