Encontre a derivada direcional no ponto P e na direção do vetor \vec{v} indicada.
(g) f(x, y)=\frac{x+y}{c x+d y}, P=(1,1), \vec{v}=(1,-d)

Passo 1

O enunciado pede a derivada direcional de
f(x,y)=\frac{x+y}{c\,x+d\,y}
no ponto P=(1,1) e na direção do vetor \vec{v}=(1,-d).
Para isso vamos precisar de dois ingredientes:
  1. Calcular o gradiente \nabla f.
  2. Formar o vetor unitário \displaystyle \vec{u}=\frac{\vec{v}}{\|\vec{v}\|} e, em seguida, usar
D_{\vec{u}}f(P)=\nabla f(P)\cdot \vec{u}.

Passo 2

Começamos encontrando as derivadas parciais de f. Definindo
u(x,y)=x+y,\quad w(x,y)=c\,x+d\,y,
temos f=u/w. Pelo quociente,
\frac{\partial f}{\partial x} =\frac{u_x\,w-u\,w_x}{w^2} =\frac{1\cdot w-(x+y)\,c}{w^2} =\frac{w-c\,u}{w^2},
\frac{\partial f}{\partial y} =\frac{u_y\,w-u\,w_y}{w^2} =\frac{1\cdot w-(x+y)\,d}{w^2} =\frac{w-d\,u}{w^2}.

Passo 3

Agora avaliamos em P=(1,1). Neste ponto
u(1,1)=1+1=2, \quad w(1,1)=c\cdot1+d\cdot1=c+d.
Logo
f_x(1,1) =\frac{(c+d)-c\cdot2}{(c+d)^2} =\frac{d-c}{(c+d)^2}, \quad f_y(1,1) =\frac{(c+d)-d\cdot2}{(c+d)^2} =\frac{c-d}{(c+d)^2}.
Portanto
\displaystyle \nabla f(1,1) =\Bigl(\frac{d-c}{(c+d)^2},\,\frac{c-d}{(c+d)^2}\Bigr).

Passo 4

O vetor dado é \vec{v}=(1,-d). Seu comprimento é
\|\vec{v}\| =\sqrt{1^2+(-d)^2} =\sqrt{1+d^2}.
O vetor unitário na direção de \vec{v} fica
\vec{u} =\frac{\vec{v}}{\|\vec{v}\|} =\Bigl(\frac{1}{\sqrt{1+d^2}},\,\frac{-d}{\sqrt{1+d^2}}\Bigr).

Passo 5

Finalmente, a derivada direcional em P na direção de \vec{v} é
D_{\vec{v}}f(1,1) =\nabla f(1,1)\cdot\vec{u} =\frac{1}{(c+d)^2\,\sqrt{1+d^2}} \Bigl[(d-c)\cdot1+(c-d)\cdot(-d)\Bigr].
No colchete aparece
(d-c)+(c-d)(-d) =d-c-\,d(c-d) =d-c-\,cd+d^2 =(d+1)(d-c).
Portanto
D_{\vec{v}}f(1,1) =\frac{(d+1)(d-c)}{(c+d)^2\,\sqrt{1+d^2}}.

Resposta

\boxed{ D_{\vec{v}}f(1,1) =\frac{(d+1)(d-c)}{(c+d)^2\,\sqrt{1+d^2}} }.

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