Encontre a derivada e enuncie a fórmula de integração correspondente:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrar a derivada de
e também a fórmula de integração correspondente. Vamos usar conceitos de cálculo diferencial e integral, como a regra da cadeia para derivadas e técnicas de substituição para integrais.
Passo 2
Primeiro, vamos focar em encontrar a derivada de
. Para isso, vamos aplicar a regra da cadeia, que é usada quando temos uma função composta.
Passo 3
A regra da cadeia nos diz que, se temos uma função composta
, a derivada é
. No nosso caso,
e
.
Passo 4
Vamos calcular primeiro a derivada de
. A derivada de
em relação a
é
, ou seja:
Passo 5
Agora, vamos derivar
. Sabemos que
, e a derivada de
é
. Portanto:
Passo 6
Aplicando a regra da cadeia:
Passo 7
Então, a derivada de
é:
Passo 8
Agora, vamos enunciar a fórmula de integração correspondente. Basicamente, queremos encontrar a antiderivada de
.
Passo 9
Para integrar essa função, fazemos uma substituição. Vamos deixar
. Então,
.
Passo 10
Derivando
em relação a
:
Isso significa que
.
Passo 11
Agora, substituímos na integral:
Passo 12
A integral de
em relação a
é
, onde
é a constante de integração.
Passo 13
Voltando para a variável original:
Resposta
A derivada de
é
e a fórmula de integração correspondente é: