Encontre a derivada e enuncie a fórmula de integração correspondente:
dd x[sin 2 raizx]

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrar a derivada de sin(2 raizx) e também a fórmula de integração correspondente. Vamos usar conceitos de cálculo diferencial e integral, como a regra da cadeia para derivadas e técnicas de substituição para integrais.

Passo 2

Primeiro, vamos focar em encontrar a derivada de sin(2 raizx). Para isso, vamos aplicar a regra da cadeia, que é usada quando temos uma função composta.

Passo 3

A regra da cadeia nos diz que, se temos uma função composta f(g(x)), a derivada é f'(g(x)) cdot g'(x). No nosso caso, f(u) = sin(u) e g(x) = 2raizx.

Passo 4

Vamos calcular primeiro a derivada de f(u) = sin(u). A derivada de sin(u) em relação a u é cos(u), ou seja:
f'(u) = cos(u)

Passo 5

Agora, vamos derivar g(x) = 2raizx. Sabemos que raizx = x^1/2, e a derivada de x^n é n x^n-1. Portanto:
g'(x) = 2 cdot 12 x^-1/2 = x^-1/2 = 1raizx

Passo 6

Aplicando a regra da cadeia:
ddx[sin(2 raizx)] = f'(g(x)) cdot g'(x) = cos(2 raizx) cdot 1raizx

Passo 7

Então, a derivada de sin(2 raizx) é:
cos(2 raizx)raizx

Passo 8

Agora, vamos enunciar a fórmula de integração correspondente. Basicamente, queremos encontrar a antiderivada de cos(2 raizx)raizx.

Passo 9

Para integrar essa função, fazemos uma substituição. Vamos deixar u = 2 raizx. Então, u = 2x^1/2.

Passo 10

Derivando u em relação a x:
dudx = 2 cdot 12 x^-1/2 = 1raizx
Isso significa que du = 1raizx dx.

Passo 11

Agora, substituímos na integral:
integral cos(2 raizx)raizx dx = integral cos(u) du

Passo 12

A integral de cos(u) em relação a u é sin(u) + C, onde C é a constante de integração.

Passo 13

Voltando para a variável original:
sin(u) + C = sin(2 raizx) + C

Resposta

A derivada de sin(2 raizx) é cos(2 raizx)raizx e a fórmula de integração correspondente é:
integral cos(2 raizx)raizx dx = sin(2 raizx) + C

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