Encontre a derivada f^prime(x) da função f(x)=x+1x-1. Encontre a equação da reta tangente no ponto (0,-1).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrarmos a derivada da função $ f(x) = \frac{x+1}{x-1} $ e, em seguida, a equação da reta tangente nesse ponto específico f(x) = x+1x-1 . Para isso, vamos precisar usar conceitos de derivadas e entender como encontrar a reta tangente a uma curva em um ponto dado.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada $ f’(x) $ da função $ f(x) = \frac{x+1}{x-1} $. Para isso, vamos usar a regra do quociente, que é usada quando temos uma função dividida por outra função.
A regra do quociente diz que, se temos $ f(x) = \frac{u(x)}{v(x)} $, então a derivada $ f’(x) $ é:
f'(x)
No nosso caso, $ u(x) = x + 1 $ e $ v(x) = x - 1 $. Vamos encontrar as derivadas de $ u(x) $ e $ v(x) $:
f(x) = x+1x-1
Aplicando a regra do quociente:
f(x) = u(x)v(x)
Simplificando o numerador:
f'(x)
Então, a derivada fica:
f'(x) = u'(x) cdot v(x) - u(x) cdot v'(x)[v(x)]^2

Passo 3

Agora que temos a derivada $ f’(x) = \frac{-2}{(x - 1)^2} $, vamos encontrar o valor de $ f’(0) $, ou seja, a inclinação da reta tangente no ponto onde $ x = 0 $.
Substituindo $ x = 0 $ na derivada:
f'(x) = -2(x - 1)^2
Então, a inclinação da reta tangente nesse ponto é f'(0) .

Passo 4

Agora, vamos encontrar a equação da reta tangente no ponto (0, -1). Sabemos que a equação de uma reta pode ser escrita na forma ponto-inclinação, que é:
y - y1 = m(x - x1)
Onde:
  • $ m $ é a inclinação da reta.
  • $ (x_1, y_1) $ é o ponto pelo qual a reta passa.
Substituindo os valores que temos:
  • $ m = -2 $
  • $ x_1 = 0 $
  • $ y_1 = -1 $
A equação fica:
m
Simplificando:
(x1, y1)
Isolando $ y $:
m = -2

Resposta

A derivada da função é $ f’(x) = \frac{-2}{(x - 1)^2} $ e a equação da reta tangente no ponto f'(x) = -2(x - 1)^2 é $ y = -2x - 1 $.

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