Encontre a derivada
da função
. Encontre a equação da reta tangente no ponto
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrarmos a derivada da função $ f(x) = \frac{x+1}{x-1} $ e, em seguida, a equação da reta tangente nesse ponto específico
. Para isso, vamos precisar usar conceitos de derivadas e entender como encontrar a reta tangente a uma curva em um ponto dado.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a derivada $ f’(x) $ da função $ f(x) = \frac{x+1}{x-1} $. Para isso, vamos usar a regra do quociente, que é usada quando temos uma função dividida por outra função.
A regra do quociente diz que, se temos $ f(x) = \frac{u(x)}{v(x)} $, então a derivada $ f’(x) $ é:
No nosso caso, $ u(x) = x + 1 $ e $ v(x) = x - 1 $. Vamos encontrar as derivadas de $ u(x) $ e $ v(x) $:
Aplicando a regra do quociente:
Simplificando o numerador:
Então, a derivada fica:
Passo 3
Agora que temos a derivada $ f’(x) = \frac{-2}{(x - 1)^2} $, vamos encontrar o valor de $ f’(0) $, ou seja, a inclinação da reta tangente no ponto onde $ x = 0 $.
Substituindo $ x = 0 $ na derivada:
Então, a inclinação da reta tangente nesse ponto é
.
Passo 4
Agora, vamos encontrar a equação da reta tangente no ponto
. Sabemos que a equação de uma reta pode ser escrita na forma ponto-inclinação, que é:
Onde:
- $ m $ é a inclinação da reta.
- $ (x_1, y_1) $ é o ponto pelo qual a reta passa.
Substituindo os valores que temos:
- $ m = -2 $
- $ x_1 = 0 $
- $ y_1 = -1 $
A equação fica:
Simplificando:
Isolando $ y $:
Resposta
A derivada da função é $ f’(x) = \frac{-2}{(x - 1)^2} $ e a equação da reta tangente no ponto
é $ y = -2x - 1 $.