Encontre a derivada: F(x)=integral0^raizx t^21+t^2 d t

Passo 1

Resumo do enunciado: queremos achar a derivada da função definida por
F(x)=integral0^raizxt^21+t^2,dt
Este problema envolve o Teorema Fundamental do Cálculo e a regra da cadeia.

Passo 2

Pelo Teorema Fundamental do Cálculo, se
F(x)=integrala^u(x)f(t),dt,
então
F'(x)=fl(u(x)r)cdot u'(x)

Passo 3

Aqui temos u(x)= raizx e f(t)=t^21+t^2. Logo
F'(x)=fl(raizxr)cdotddx(raizx)

Passo 4

Calculando cada parte: primeiro
fl(raizxr)=(raizx)^21+(raizx)^2=x1+x,
e depois
ddx(raizx)=12raizx
Multiplicando,
F'(x)=x1+xcdot12raizx=x2raizx,(1+x)

Passo 5

Simplificando x2raizx,(1+x): como x/raizx=raizx, fica
F'(x)=raizx2(1+x)

Resposta

F’(x)=\frac{\sqrt{x}}{2(1+x)}

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