Encontre a derivada.
F(x)=integralx^2^x^3 ln t^2 d t

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
F(x)=integralx^2^x^3ln t^2,dt
O conteúdo aqui é a regra de Leibniz para diferenciar uma integral com limites que dependem de x. Vamos usar a fórmula
ddxintegrala(x)^b(x)f(t),dt = fl(b(x)r),b'(x);-;fl(a(x)r),a'(x)

Passo 2

Identificamos a(x)=x^2, b(x)=x^3 e f(t)=ln t^2. Logo,
F'(x) =lnl((x^3)^2r)cdotddx(x^3) ;-;lnl((x^2)^2r)cdotddx(x^2)
Substituindo as derivadas dos limites:
F'(x)=lnl(x^6r)cdot3x^2 ;-;lnl(x^4r)cdot2x

Passo 3

Agora simplificamos os logaritmos usando ln(x^6)=6lnlvert xrvert e ln(x^4)=4lnlvert xrvert:
F'(x)=3x^2cdot6lnlvert xrvert ;-;2xcdot4lnlvert xrvert

Passo 4

Multiplicando e agrupando termos:
F'(x)=18x^2lnlvert xrvert ;-;8xlnlvert xrvert

Passo 5

Fatorando 2xlnlvert xrvert:
F'(x)=2xlnlvert xrvert,(9x-4)

Resposta

F'(x)=2xlnlvert xrvert,(9x-4)

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