Encontre a derivada:
1) \frac{2 v}{r}+2 \pi r^{2}
]

Passo 1

O enunciado pede a derivada da função
f(r)=\frac{2v}{r}+2\pi r^{2}
em que r é a variável independente e v é tratado como constante. Vamos usar a regra da derivada de potência e a regra da constante.

Passo 2

Primeiro, reescrevemos cada termo usando potências:
f(r)=2v\,r^{-1}+2\pi\,r^{2}

Passo 3

Lembrando que a derivada de r^{n} é
\frac{d}{dr}\bigl(r^{n}\bigr)=n\,r^{n-1}
e que constantes podem sair da derivada, vamos aplicar isso termo a termo.

Passo 4

Derivando o primeiro termo:
\frac{d}{dr}\bigl(2v\,r^{-1}\bigr)=2v\cdot(-1)\,r^{-2}=-2v\,r^{-2}
Derivando o segundo termo:
\frac{d}{dr}\bigl(2\pi\,r^{2}\bigr)=2\pi\cdot2\,r^{1}=4\pi\,r

Passo 5

Somando as derivadas parciais temos
f'(r)=-2v\,r^{-2}+4\pi\,r

Resposta

f'(r)=-\frac{2v}{r^{2}}+4\pi r

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