Um ponto move-se ao longo do gráfico y=x^2+1 de tal modo que a sua abscissa x varia a uma velocidade constante de 3 cm / s. Qual é, quando x=4 cm, a velocidade da ordenada y?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado diz que um ponto está se movendo ao longo do gráfico da função y = x^2 + 1 . A abscissa x está aumentando a uma velocidade constante de 3 , cm/s . Nosso objetivo é descobrir qual é a velocidade da ordenada y quando x = 4 , cm . Vamos usar o cálculo, mais especificamente derivadas, para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender como y está mudando em relação ao tempo t . A função que relaciona y e x é y = x^2 + 1 . Para encontrar a velocidade de y , que é dydt , vamos derivar essa função em relação a t .

Passo 3

Vamos derivar y = x^2 + 1 em relação ao tempo t . Aplicando a regra da cadeia, temos:
dydt = 2x cdot dxdt
Aqui, 2x é a derivada de y em relação a x ( dydx ), e dxdt é a velocidade da abscissa, que sabemos que é 3 , cm/s .

Passo 4

Agora, substituímos os valores conhecidos na equação. Sabemos que quando x = 4 , cm , dxdt = 3 , cm/s . Então:
dydt = 2 cdot 4 , cm cdot 3 , cm/s = 24 , cm/s

Resposta

Quando x = 4 , cm , a velocidade da ordenada y é 24 , cm/s .

Exercícios relacionados